Post Icon



Конспект окружность


Урок 16. окружность. задачи на построение - Геометрия - 7 класс

Геометрия

7 класс

Урок № 16

Окружность. Задачи на построение

Перечень рассматриваемых вопросов:

  • Геометрическое место точек, примеры ГМТ.
  • Изображение на рисунке окружности и ее элементов.
  • Решение задач на построение.
  • Выполнение построений прямого угла, отрезка, угла равного данному, биссектрисы угла, перпендикулярных прямых, середины отрезка с помощью циркуля и линейки.

Тезаурус:

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Хорда – отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр – хорда, проходящая через центр окружности.

Основная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Дополнительная литература:

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М.А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М.А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Ранее мы узнали некоторые геометрические фигуры, например, угол, отрезок, треугольник, научились их строить и измерять. Сегодня мы введём определение ещё одной фигуры – окружности, рассмотрим её элементы и выполним построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки.

Для начала дадим определение геометрической фигуры, называемой окружностью.

Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Но можно использовать и другое определение окружности.

Окружность ‑ это геометрическое место точек, удалённых на одно и то же расстояние от точки, называемой центром окружности. Это расстояние называют радиусом окружности. В нашем случае точки О.

При этом стоит пояснить, что геометрическое место точек – это фигура речи, употребляемая в математике для определения геометрической фигуры, как множества всех точек, обладающих некоторым свойством.

Вспомним элементы окружности.

Радиус окружности – отрезок соединяющий центр окружности с какой-либо точкой окружности.

По определению окружности все её радиусы имеют одну и ту же длину. OM = OA

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

AC, BD – хорды

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

AB – диаметр,

OB – радиус,

AB = 2OB,

O – середина диаметра.

Любые две точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

AMB, ALB – дуги окружности.

Построим окружность радиусом 3 см. Для этого поставим точку О. Возьмём циркуль и выставим с помощью линейки расстояние между ножками циркуля, равное 3 см. Поставим иголочку циркуля в точку О и построим окружность, вращая ножку циркуля с грифелем вокруг этой точки. Грифель описывает замкнутую кривую линию, которую называют окружностью.

Часть плоскости, которая лежит внутри окружности, вместе с самой окружностью, называют кругом, т. е. окружность ‑ граница круга.

Итак, мы можем с помощью циркуля строить окружность, но с его помощью можно построить и угол равный данному. Для построения воспользуемся ещё и линейкой.

Дано: A, OM – луч.

Построить: EOМ = A.

Построение.

1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

2. Окр. (A; r) ∩ AB = B.

3. Окр. (A; r) ∩ AС = С.

4. Окр. (O; r) ∩ OM = D.

5. Окр. (D; BС) ∩ Окр. (O; r) = E

6. OЕ, ЕОD = BAC (из равенства ∆ОЕD и ∆ABC). EOM – искомый.

Теперь выполним построение биссектрисы угла.

Дано: CAB.

Построить: AE – биссектриса CAB.

Построение.

  1. Окр. (A; r), r – произвольный радиус.

  1. Окр. (A; r) ∩ AB = B.
  2. Окр. (A; r) ∩ AC = C.
  3. Окр. (C; CB) ∩ Окр. (B; CB) = E.
  4. AE – искомая биссектриса BAC, т. к. ABE =CBE (из равенства ∆ACE и ∆ABE).

Рассмотрим ещё одно построение с помощью циркуля и линейки. Построим середину отрезка АВ.

Для этого построим две окружности с центрами на концах отрезка , т. е. в точках А и В. Окружности пересекутся в точках Р и Q. Проведём прямую через точки Р и Q. Прямая РQ пересечёт прямую АВ в точке О, которая и будет являться искомой серединой отрезка АВ. Докажем это. Для этого рассмотрим ∆APQ и ∆BPQ. Они равны по трём сторонам, следовательно, ∠1 = ∠2, поэтому РО– биссектриса равнобедренного ∆АВР, а соответственно РО ещё и медиана. Следовательно, точка О – середина отрезка АВ.

Разбор заданий тренировочного модуля.

№ 1. АВ и СК – диаметры окружности, с центром в точке О. По какому признаку равенства треугольников равны треугольники АОС и ОКВ?

Решение:

Так как О – центр окружности, то точка О делит диаметры пополам, следовательно отрезки АО, ОВ, ОС, ОК равны. ∠СОА = ∠КОВ (как вертикальные). Поэтому треугольники АОС и ОКВ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Ответ: 1 признак равенства треугольников.

№ 2. На рисунке O – центр окружности, АВ – диаметр окружности. Отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ. АВ = 8 см, ОС = 5 см, СВ = 3 см. Чему равен периметр ∆AOD?

Решение:

Периметр треугольника AOD равен сумме сторон АО, AD, DO. Найдём эти стороны.

По условию O – центр окружности, то она делит диаметр пополам, следовательно отрезок АО равен отрезку ОВ, т. е. АО = АВ:2 = 8 см :2 = 4 см.

По условию отрезки АD и ВС, перпендикулярны к отрезку АВ, следовательно ∠СВО = ∠ОАD = 90°, ∠АОD = ∠СОВ (как вертикальные). Поэтому ∆АОD = ∆СОВ (по 2 признаку равенства треугольников). Следовательно, AD = СВ = 3 см, DO = ОС = 5 см.

Р∆AOD = АО + AD + DO = 4 см + 3 см + 5 см = 12 см.

Ответ: Р∆AOD = 12 см.

Конспект урока по теме `Окружность и круг`, УМК С. М. Никольский_5 класс

 

Методическая разработка урока по математике

На тему:

 

 

 

 

«Окружность и круг. Сфера и шар»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подготовила:       учитель математики   МКОУ  СОШ№11  Умарова П.С.

Учебный предмет: математика.                     Дата:

Класс: 5.

Тема урока «Окружность и круг. Сфера и шар»

Цель: формирование новых понятий и навыков применения при решении               задач.

Задачи: Обучающие: сформировать умения распознавать на чертежах, рисунках окружности, круги, шары, сферы; научить называть элементы окружности; изображать эти фигуры и их конфигурации от руки и с использованием циркуля.

 Развивающие: развивать аналитико-синтетические умения и навыки, умения сравнивать, обобщать, проводить аналогию, делать выводы, развивать абстрактное и логическое мышление, речь, память, внимание, воображение; чертёжные и вычислительные умения и навыки.

 Воспитывающие: воспитывать культуру математической речи, оформления математических записей и чертежей, культуры общения; сформировать волевые качества личности – самостоятельность, ответственность, аккуратность, коллективизм.

Предметные УУД: познакомить с плоскими фигурами: окружностью и кругом, научить строить окружности с помощью циркуля, ввести понятие окружности и её элементов.

 

Тип урока: открытия нового знания (ОНЗ).

Структура урока:

1) Организационный этап.

2) Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3) Актуализация опорных знаний.

4) Первичное усвоение новых знаний.

5) Первичная проверка понимания.

6) Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

7) Рефлексия (подведение итогов).

 

1.Организация начала урока:-3мин

   

(На этом этапе- приветствие, проверка подготовленности, организация внимания)

 Здравствуйте! Я рада приветствовать сегодня вас на уроке. Возьмите за руку своего соседа по парте, улыбнитесь, посмотрите ему в глаза и скажите: «Желаю тебе сегодня на уроке быть любознательным, внимательным и старательным». А урок я хочу начать со слов Г.Галилея. «Природа говорит языком математики: буквы этого языка – круги, треугольники и иные математические фигуры». Давайте попробуем разобраться, так ли это.

 

2.Постановка цели и задачи урока. Мотивация учебной деятельности-5мин

(На этом этапе фиксируются цель урока. Мотивация учебной деятельности.)

 Если внимательно приглядеться к происходящему в окружающем нас мире, то можно увидеть:

Посмотрите на эти тела и природные явления и назовите то, что их объединяет. Правильно, форма.

- Какая фигура лежит в основе этих предметов?

-Найдите сходство между этими предметами.

-Найдите отличительные признаки у этих фигур.

- Вы знаете, как называются эти фигуры?

-Где вы встречаетесь с этими предметами?

        -Давайте определим тему нашего урока.

Тема нашего урока «Окружность и круг. Сфера и шар».

Мы познакомимся с плоскими фигурами: окружностью и кругом, научимся строить окружности с помощью циркуля, введём новые понятия.

Составим кластер по нашей теме (Работа в парах по составлению вопросов для кластера)

Вот что получилось.

 

 

 

                                                                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Актуализация опорных знаний: фронтальный опрос- 3мин

(На этом этапе проходит повторение ранее изученного материала)

Математические фигуры – геометрические фигуры. Повторим простейшие

геометрические фигуры, которые мы изучили и которые мы будем использовать при изучении новых понятий.

 

-Что является основой для построения любой геометрической фигуры  - это…(точка).

Прямая – это … (линия, не имеющая концов, т.е. бесконечна)

Луч – это (направленная полупрямая, которая имеет точку начала и не имеет конца)

- Часть прямой линии, ограниченная с двух сторон точками, называется … (отрезком прямой, или отрезком)

 

4. Первичное усвоение новых знаний- 15 мин.

(На этом этапе ученики самостоятельно добывают знания через осмысление цели урока)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Алгоритм выполнения задания.

1.Постройте окружность радиуса 5 см.

2. Три отрезка разной длины: 5см, 7см, 10см. расположите их в окружности так, как в сказке.

- Что у вас получилось? (Сверяем с рисунком на доске) (Слайд№4)

- Поднимите руки у кого другое построение.

- Назовите свои ошибки. 

- Какие новые понятия вы встретили в тексте?

- Окружность, центр, радиус, хорда, диаметр.

(Найдём определения этих понятий в учебнике. Работа с материалом учебника)

 

 

 

 АВ, АД, АС – радиусы (определение в учебнике на стр.89)

ВЕ – хорда

ВС, СД, ДЕ, ВЕ – дуги

ВД- диаметр

ВЕ – хорда

ВСД, ВЕД – полуокружности

 

- Выполним № 403

-Какие новые понятия вы ещё встретили в учебнике?

-Шар, сфера.

- Назовите предметы, имеющие форму шара.

- Снежный ком, апельсин, клубок ниток, жемчужина.

- Назовите  предметы, имеющие форму сферы.

- Новогодний шар, теннисный мячик, глобус.

-Чем эти фигуры отличаются от круга, окружности?

- Первые фигуры плоские, последние – объёмные.

 

Физкультминутка – 2мин.

 

 

5.Первичная проверка понимания: - 5мин.

Учащимся предлагается творческое задание. Работа в парах. На каждом столе лежит: чистый альбомный лист, 2 карандаша, нитки.

- Мы уже знаем, что для построения окружности нам нужен циркуль.

А что делать, если циркуля нет?

-Давайте построим окружность с помощью 2 карандашей и катушки ниток.

( Учащиеся на отдельном листе бумаги выполняют построение окружности, заданного радиуса)

При выполнении этого задания учащиеся ориентируются на знания, полученные на уроке. Работы подписывают и сдают учителю.

 

6.Информация о домашнем задании: -2мин

(задание а – обязательно, задания б, в – на выбор)

А) п.2.5, № 406, 415.

Б) найдите в интернете способы построения окружности без циркуля.

В) № 410, 411

 

7.Рефлексия. Итог урока.-5мин

- Вы сегодня на уроке отлично поработали.

-Узнали что-то новое?

-Прав ли Г.Галилей?

- Подведём итог урока и сыграем в игру.

 

Игра «Да - нет»

-Сегодня на уроке мы познакомились с фигурами, которые имеют: центр, замкнутые, состоят из множества точек, расположенных на равном расстоянии от центра? - Да.

-Окружность можно построить только с помощью циркуля? –Нет.

- Фигуры бывают плоскими и объёмными? - Да.

- Окружность и круг состоят из одной точки? – Нет.

- Много предметов в природе имеют круглую форму? - Да.

- Диаметр окружности меньше радиуса? – Нет.

- Пуговица и колечко – это круги? – Нет.

Своё понимание темы урока изобразите в виде схемы (в тетради)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1.Интернет источники.

2.С.М.Никольский, Математика 5 класс, 2016г.

 


 

Скачано с www.znanio.ru

Конспект урока по математике с использованием мультимедийной презентации по теме "Окружность. Дуга" – УчМет

[Введите текст]

Конспект урока по математике

с использованием мультимедийной презентации

для учащихся 4 класса

специальной (коррекционной) школы VIII вида

Разработала: Сергеева Олеся Сергеевна,

магистрант факультета психологии и дефектологии

МГПИ им. М. Е. Евсевьева, г. Саранск

Тема: Окружность. Дуга.

Цель: формирование у учащихся знаний о геометрических фигурах окружность, дуга окружности.

Задачи:

– закрепление знаний о геометрической фигуре окружности;

– знакомство учащихся с понятием дуга окружности;

– развитие логического мышления;

– развитие математической речи;

– воспитание внимательности и наблюдательности.

Оборудование: смайлики по количеству учеников, макет окружности, CD с мультимедийной презентацией, мультимедийный проектор, экран.

Ход урока

Устный счёт.

– Какое сегодня число?

– Сегодня 18 ноября.

– Что вы можете рассказать о числе 18?

– Откройте тетради, запишите число и классная работа.

– Я буду читать утверждения с экрана, если вы согласны с ними, то показываете «+», если не согласны, то показываете «-».

– если к 8 + 8 то получится 16;

– через одну точку можно провести, только одну прямую линию;

– это неравенство верно 7+5<6+6;

– угол, который больше прямого называется тупым углом;

– это равенство верно 45+3=49;

– луч это часть прямой, у которого есть только начало. (Учитель на экране демонстрирует слайд 1 презентации).

– Решите цепочку, изображенную на экране, и вы узнаете имя великого древнегреческого математика (работа проходит в парах). (Учитель на экране демонстрирует слайд 2 презентации).

+555

+255

- 5 555555

+20


8

(30 – Пифагор; 25 - Магеллан; 40 – Аристотель).

– Этого великого математика звали Пифагор.

Актуализация знаний и сообщение темы урока.

– Ребята, какие перед вами линии? (Кривые, замкнутые и незамкнутые). Правильно, мы на прошлом уроке узнали, что кривые линии бывают замкнутыми и незамкнутыми. Разгадайте ребус на экране и узнаете тему урока. Сегодня мы еще больше узнаем об окружности, узнаем, что такое дуга окружности. (Учитель на экране демонстрирует слайды 3-5 презентации).

Сообщение новых знаний.

– У круга есть одна подруга,

Знакома всем ее наружность,

Она идет по краю круга,

И называется окружность.

(Учитель на экране демонстрирует слайд 6 презентации).

– Просмотрите сказку об окружности и круге и ответьте на вопрос Нюши, чем отличается круг от окружности? Какие знакомые вам предметы имеют форму круга, а какие форму окружности? (Учитель на экране демонстрирует слайды 7-12 презентации).

– Ребята, что если взять ножницы и разрезать с одной стороны окружность и немного развернуть. Что же получилось? Правильно, получилась кривая, а какая она замкнутая или незамкнутая? Теперь снова соединим окружность. Подумайте, какой можно сделать вывод? Окружность - это кривая? А кривая замкнутая или незамкнутая? Почему? И так какой мы сделаем вывод? «Окружность – замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки, центра». (Учитель на экране демонстрирует слайд 13 презентации).

– Кто расскажет, что вы уже знаете об окружности? Да ,правильно, у нее есть центр, радиус. Проведем вместе с Барашем математическое исследование. Запишем вывод, что диаметр – отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Перед вами окружность и проведенный диаметр, ответьте, что делает диаметр с окружностью? Правильно, он делит ее на 2 части, которые называются дуги. (Учитель на экране демонстрирует слайды 14-17 презентации).

Первичное закрепление новых знаний.

– Выполните задания ежика, которое предлагается на слайде. (Учитель на экране демонстрирует слайды 18-22 презентации).

– На экране предлагается задача: Витя Верхоглядкин провёл 11 диаметров окружности. Потом он сосчитал радиусы. Их оказалось 21. Правильный его ответ? Нет, радиусов будет в два раза больше, чем диаметров, то есть 22. (Учитель на экране демонстрирует слайд 23 презентации).

Закрепление новых знаний.

– Какие из нарисованных на экране фигур можно назвать линиями? Какие из них ломаные, а какие кривые? Разделите кривые линии на замкнутые и незамкнутые. В замкнутых прямых 3, 6, 8 расставлены точки, можно ли утверждать, что расстояние от точки О до точек A, B, C, D в каждой фигуре одинаковое? Бараш приглашает исследователей убедить в этом класс, измерьте расстояние, остальные исследователи сравните фигуры 6 и 8. Сходство: это замкнутые кривые линии, внутри отмечена точка О, а на линиях отмечены точки A, B, C, D. Отличие: расстояние от точки О до точек A, B, C, D в фигуре 6 – разные, в фигуре 8 – одинаковые.

– Как вы думаете, почему фигура 8 является окружностью, а фигура 6 не является окружностью. Назови существенные признаки окружности. Можно ли назвать окружностями фигуры 5, 7, 9? Чем отличается окружности 3 и 8? Отметьте любую другую точку на окружности 8 и измерьте расстояние от точки О – центра окружности – до этой точки, сделайте вывод! Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности одинаковое! Запиши вывод в тетрадь! Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности называется радиусом. (Учитель на экране демонстрирует слайды 24-35 презентации).

– Разгадайте загадку Бараша. (Учитель на экране демонстрирует слайды 36-38 презентации). Правильно это циркуль. Циркуль – это чертежный инструмент. С ним нужно работать осторожно. Нельзя подносить иглой к лицу и нельзя передавать циркуль соседу “иглой вперед”. Вы уже знаете, что с помощью циркуля чертят окружность. Циркулем так же чертят и дугу. Возьмите циркули и потренируйтесь чертить окружности и дуги циркулем.

Конспект урока на тему «Длина окружности»

1.Организационный момент.

1 мин

Цель данного этапа: Психологический настрой учащихся; Вовлечение всех учащихся в учебный процесс, создание ситуации успеха

 

2.Актуализация знаний.

Цель этапа – ввести новое понятие, получить представление о качестве усвоения учащимися материала, определить опорные знания

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Формулировка темы и целей урока

Цель: выявление места и причины затруднения, постановка задач урока

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.«Открытие» детьми нового знания.

Цель: построение детьми нового способа действий и формирование способности к его выполнению

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Динамическая пауза

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.Первичное закрепление

Цель: усвоение нового способа действий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.Самосто-ятельная работа.

Цель: Контроль ЗУН

 

8.Рефлекция деятельности (итог урока)

Цель: самооценка результатов деятельности.

 

9. Домашнее задание

-Здравствуйте, ребята! Поприветствуйте, друга по лицу сжатием рук, а друга по плечу – плечами.

-Учитель: Сегодня на уроке мы будем работать под девизом:

«Скажи мне и я забуду,

Покажи мне и я запомню,

Дай мне действовать самому и я научусь!»

Как вы понимаете эти слова?

 

 

 


 


 

Учитель задает вопрос: Какая зависимость называется прямой пропорциональностью, а какая зависимость называется обратной пропорциональностью?

Учитель: А теперь достаньте свой КЛОК БАДДИС и смотрите, с кем вы встречаетесь, с кем назначили встречу в 11 часов.

-Все нашли себе пару? Кто остался без пары? (Учитель помогает образовать тройку, если 1 остался без пары)

-Вопрос помните? А сейчас проведем ТАЙМД ПЭА ШЭА. В течении 30 секунд( у каждого будет 15 секунд) отвечаем на этот вопрос. Обсуждение начинает тот, у кого глаза светлее 15 сек. Ваши 15 секунд пошли. Время вышло. Теперь говорит другой партнер. Ваши 15 секунд пошли. Время вышло. Давайте выслушаем некоторых.

- МЭНЭДЖ МЕНТ. Ребята займите свои места.

СТРУКТУРА СИМАЛТИНИУС РАУНД ТЕЙБОЛ. (Слайд №1)

- Будем выяснять, какая зависимость между рассматриваемыми величинами?

(Приложение №1).

После завершения работы, на своих листочках проверяем и в конце каждого предложения вы должны ставить «+» если правильно, «-» если неправильно. Проверяем «+» - это 1, «-» - это 0. (Слайд №2)

- Сегодня мы с вами будем изучать новую тему, а какую позже вы сами сформулируете.

1.Чему равен масштаб чертежа, если на нем детали увеличены в 20 раз? Уменьшены в 5 раз? (Слайд №3)

Для решения этой задачи используем СТРУКТУРУ ФИНК РАЙТ РАУНД РОБИН. Подумаем про себя, запишем ответы, и с помощью РАУНД РОБИН поделимся мнениями. У каждого участника будет 15 секунд времени.

-Готовы? Послушаем стол №1, ученик №4)

2.Задание на развитие памяти.

Посмотрите 10 сек на экран (Слайд №4)

 

рисунок1 рисунок 2

(Слайд№5)

-Что изображено на 1 рисунке?

-Какое число находится внутри треугольника?

-Какие числа на сторонах треугольника?

-Найдите закономерность расположения чисел.

-Что изображено на 2 рисунке?

-Какое число было и где?

-Какое число нужно вставить вместе знака «?»

Почему?

 

 

-Как называется сумма длин сторон прямоугольника?

3. Смотрим на экран (Слайд №6)

-Что мы видим

-А можем ли мы вычислить периметр окружности?

Так какая тема сегодняшнего урока?

 

- Сегодня мы узнаем, как находить длину окружности. Откроем тетради, запишем тему урока. (Слайд №7)

1.Что мы знаем об окружности? (Приложение №2)

Используем СТРУКТУРУ РАУНД ТЕЙБОЛ (по кругу по очереди разным цветом учащиеся пишут)

Длина окружностиС, радиус – r, диаметр – d (Слайд №8)

 

Создание проблемной ситуации.

Учитель: - Нам предстоит решить задачу «Какой длины надо взять кусок проволоки, чтобы согнуть окружность данного радиуса?».
- Вспомните единицы измерения длины.
- С помощью какого инструмента можно измерять длину, например длину отрезка?
- А можно ли измерить линейкой длину окружности?
- Давайте подумаем, как можно измерять длину окружности?
- Давайте выполним с вами следующую практическую работу

(Слайд №9)

Учитель:

Работаем с партнерами по плечу.

Ребята, у вас на столах есть стакан (цилиндр, подставка для карандашей, банка из под сгущенного молока), ниточки.

С помощью нитки измерьте длину окружности, в тетради обведите модели и у вас в тетрадях получится окружность. Все измерения вносим в таблицу. (Приложение №3)

Сделайте вывод. (Слайд №10-11)

С=π d, d=2r, С= 2πr

Запись числа π (Слайд №12 )

Запомни (Слайд № 13 )

Интересные факты (Слайды №14-№15)

Структура МИКС-ФРИЗ-ГРУПП

-Я включу музыку, а вы передвигайтесь по классу. Когда музыка остановится, замрите и послушайте вопрос. Ответом на вопрос будет, какое-то число. Ребята, вы должны собраться в группу столько человек, каким будет ответ. Есть одно условие: никто из вас не должен озвучивать ответ!

1.Микс(музыка). Фриз. Вопрос: Скольким радиусам равен диаметр окружности?

2.Микс(музыка). Фриз. Вопрос: Диаметр окружности равен 6 см, а радиус - ?

3.Микс(музыка). Фриз. Вопрос: На сколько полуокружность диаметр делит окружность?

Фронтальная работа у доски

Решение задач по учебнику. №853( стр 155) (Слайд №16)

№855 (Слайд №17),

 

858 (слайд №18)

(по времени работы дополнительная задачи Слайды №23-29, № 876 (Математика 6 класс. Н.Я.Виленкин. Слайд №28), №1108 (Л.С.Атанасян. Геометрия 7-9. Слайд 29)

 

(Слайд 19)

1 вариант , партнер А- №857(а)

2 вариант, партнер В- №857(б)

 

 

(Слайд №20)

Учитель: Ребята, продолжите, пожалуйста предложение

Сегодня на уроке я узнал(а), что…

Учитель: В результате чего это произошло? Перечислите важные этапы появления знания.

 

П. 24, стр. 153-154, №874; 876,

Задание по карточкам (приложение 5)

(Слайд №21)

Говорят, что пословицы отражают настроение. У вас на столе лежат листочки с названием «Поговорки – зеркало настроения» (Приложение 4)

Выберите пословицу, соответствующую вашему настроению на этом уроке. (Слайд №22)

 

Ученики включаются в деловой ритм урока.

 

 

 

 

 

Учащиеся высказывают свои мнения

 

 

 

 

Учащиеся вспоминают определение

 

 

Встают, задвинули стулья и найдите пару, дают пять своему партнеру

 

Находят свои пары

 

Учащиеся отвечают на поставленный вопрос

 

 

 

 

-Ученик под №1 раздает листочки,

-ученик под №2 раздает разноцветные ручки.

 

 

Листочки передают по кругу, каждый ученик пишет разным цветом

 

 

 

 

У кого правильно, тот объясняет остальным.

 

 

 

 

 

 

 

 

Читают,

 

записывают решение,

 

обсуждают в команде.

 

 

 

 

Отвечает стол №1, ученик №4

 

Учащиеся отвечают на вопросы

 

 

 

 

-треугольник

 

30

7, 10, 13

Сумма длин сторон

Прямоугольник

На сторонах 8 и 12

40

Сумма длин сторон прямоугольника

 

Периметр

 

 

 

 

окружность

находить длину окружности

«Длина окружности»

 

 

 

 

 

Ученик №3 зачитывает ответы, обсуждают в группе.

 

 

 

 

 

дети отвечают на поставленные вопросы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполняют практическую работу

(Сильному ученику: отметить на окружности какую-нибудь точку, прокатить окружность, измерить длину пути и, измерив диаметр, найти отношение С к d)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дружно встают из-за парт. Стулья задвигают.

 

Образуют 2 группы

 

Образуют 3 группы

 

Образуют 2 группы

 

 

 

Индивидуально работают на тетрадях

 

 

 

 

Работа в паре

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учащиеся выполняют задания в тетради самостоятельно.

 

 

 

 

Учащиеся отвечают

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Конспект лекций Цилиндр, конус,шар - Цилиндр конспект урока



С этим файлом связано 7 файл(ов). Среди них: Пр1.docx, Документ Microsoft Word (2).doc, Конспект урока.docx, рабочая программа 5 класс Красиков.docx, Практическая работа 4«Конструирование практико-ориентрованных за, Тест по теме_ «Роль права в жизни человека, общества и государст, Курсовая.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: 9 класс. Окружность..pdf, Тема №9 история создания МЧС России Конспект.doc, 6. Конспект основного содержания.doc, Иванов конспект.docx, Разработка конспекта-урока для студентов СПО на тему_ Создание с, урок конспект.docx, 1 глава конспект.doc, № 1 конспект.docx, семинар, конспект 1 (1).docx, М 1 Каз Конспект Лекц 2020 Июнь (УМКД) О — копия (Восстановлен)

Понятие цилиндра.


Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса г, лежащую в этой плоскости. Через каждую точку окружности L проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямыеобразующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу (см. п. 16).
Рассмотрим теперь плоскость β, параллельную плоскости α (рис. 142). Отрезки образующих, заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу (см. п. 11). По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L1 с центром О1радиуса г, где O1 — точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической поверхности.
Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор 1. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор 1  окружность L перейдет в равную ей окружность L1 радиуса г с центром в точке О1
Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1называется цилиндром (см. рис. 142). Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности — боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Как уже отмечалось, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Рис. 42. Рис. 43. Рис. 44. Рис. 45.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.

На рис.143 изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны CD, а основания вращением сторон ВС и AD.

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник (рис. 144), две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость (плоскость γ на рисунке 145) отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. Мы будем рассматривать только - прямые круговые цилиндры.


Площадь поверхности цилиндра

На рисунке 147, а изображен цилиндр. Представим себе, что его боковую поверхность разрезали по образующей АВ и развернули таким образом, что все образующие оказались расположенными в некоторой плоскости α (рис. 147, б). В результате в плоскости α получится прямоугольник ABB'A'. Стороны АВ и А'В' прямоугольника представляют собой два края разреза боковой поверхности цилиндра по образующей АВ. Этот прямоугольник называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Основание А A'. прямоугольника является разверткой окружности основания цилиндра, а высота АВобразующей цилиндра, поэтому АА' = г,

АВ = h, где г — радиус цилиндра, h — его высота.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.

Так как площадь прямоугольника ABB'A' равна АА' • АВ = гh, то для вычисления площади Sбок  боковой поверхности цилиндра радиуса г и высоты h получается формулаРис.147 Итак, площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра.
Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. Так как площадь каждого основания равна πг2, то для вычисления площади Sцил  полной поверхности цилиндра получаем формулу


Решение задач по теме « Цилиндр»

521. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота 4м.

522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра

523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.

524. Осевые сечения двух цилиндров равны. Равны ли высоты этих цилиндров?

525. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см2 а площадь основания —5 см2   Найдите высоту цилиндра.

531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм2 Найдите радиус цилиндра

538. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 5. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

545. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра; в) полной поверхности цилиндра.

Понятие конуса.

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности. Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью (рис. 148), а сами прямые — образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая ОР — осью конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 149). Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объясните почему).

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке 150 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса (рис. 151), то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси ОР конуса (рис. 152), то сечение конуса представляет собой круг с центром О1, расположенным на оси РО1 конуса. Радиус r1 этого круга равен РО1/ РО г, где г — радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО1М1. Доказательство этого факта приведено в решении задачи 556.

Рис .148 Рис .149 Рис .150 Рис .151 Рис .152


Площадь поверхности конуса

Боковую поверхность конуса, как и боковую поверхность цилиндра, можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих (рис. 153, а, б). Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор (см. рис. 153, б), радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь ее развертки.

Выразим площадь S6oк боковой поверхности конуса через его образующую l и радиус основания г. Площадь кругового сектора — развертки боковой поверхности конуса (см. рис. 153, б) - равна где α – градусная мера дуги АВА, поэтому (1)


Рис .153


Выразим α через l и г. Так как длина дуги АВА' равна г (длине окружности основания конуса),то . Подставив это выражение в формулу (1), получим

Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади Sконполной поверхности конуса получается формула



Усеченный конус

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси. Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей (верхняя на рис. 154) представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры,— высотой усеченного конуса.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).
Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке 155 изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции ABCD вокруг стороны CD, перпендикулярной к основаниям AD и ВС. При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и DA трапеции.


Рис .154

Рис .155


Можно доказать, что площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей оснований на образующую, т. е.

где г и г1радиусы оснований, lобразующая усеченного конуса.


547.   Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

548. Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите площадь основания конуса, если: а) α = 30°; б) α = 45°; в) α = 60°.

550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.

553.    Найдите высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм2, а площадь основания равна 8 дм2.

555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.

565.Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площади боковой и полной поверхностей образованного при этом вращении конуса.

Сфера и шар

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 157).

Данная точка называется центром сферы (точка О на рис. 150), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают буквой R.
Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра (рис. 151).
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.


Рис .157

Рис .158


Уравнение сферы.

Выведем уравнение сферы (см. начало п. 53) радиуса R с центром С (х0; у0; z0) (рис. 159).

Р асстояние от произвольной точки М (х; у; z) до точки С вычисляется по формуле MC = (x- x0)2 +(у-у0)2 + (z-z0)2.

Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R, или МС2 = R2, т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению

(х-х0)2+(у-у0)2+(z-z0)2 =R2.    (1)

Если же точка М (х; у; z) не лежит на данной сфере, то МС2  R2, т. е. координаты точки М не удовлетворяют уравнению (1). Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С (x0; у0; z0) имеет вид(х- x0)2 +(у-у0)2 +(z-z0)2 =R2.


Рис .159


Взаимное расположение сферы и плоскости

Исследуем взаимное расположение сферы и плоскости в зависимости от соотношения между радиусом сферы и расстоянием от ее центра до плоскости.
Обозначим радиус сферы буквой R, а расстояние от ее центра до плоскости α — буквой d. Введем систему координат так, как показано на рис. 160: плоскость Оху совпадает с плоскостью α, а центр С сферы лежит на положительной полуоси Oz. В этой системе координат точка С имеет координаты (0; 0; d), поэтому сфера имеет уравнение х2+ у2+ (z – d)2 = R2. Плоскость α совпадает с координатной плоскостью Оху, и поэтому ее уравнение имеет вид z = 0 (объясните почему).

Если координаты какой-нибудь точки М (х; у; z) удовлетворяют обоим уравнениям, то точка М лежит как в плоскости а, так и на сфере, т. е. является общей точкой плоскости и сферы.

Если же система этих двух уравнений не имеет решений, то сфера и плоскость не имеют общих точек. Таким образом, вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости сводится к исследованию системы уравненийПодставив z = 0 во второе уравнение, получим х2+ у2= R2- d2 (2)

Возможны три случая.


Рис .160 Рис .161 Рис .162

1.d . Тогда R2- d2> 0, и уравнение (2) является уравнением окружности радиуса г = R2- d2

с центром в точке О на плоскости Оху. Координаты любой точки М (х; у; 0) этой окружности удовлетворяют как уравнению плоскости а, так и уравнению сферы, т. е. все точки этой окружности являются общими точками плоскости и сферы (см. рис. 160, а).

Таким образом, в данном случае сфера и плоскость пересекаются по окружности. Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то сечение сферы плоскостью есть окружность.

Ясно, что сечение шара плоскостью есть круг. Если секущая плоскость проходит через центр шара, то d = 0 и в сечении получается круг радиуса R, т. е. круг, радиус которого равен радиусу шара. Такой круг называется большим кругом шара (рис. 161).

Если секущая плоскость не проходит через центр шара, то d > 0 и радиус сечения

г = R2– d 2 , очевидно, меньше радиуса шара (см. рис. 160, а).
2d = R. Тогда R2- d2= 0, и уравнению (2) удовлетворяют только числа х = 0, у = 0. Следовательно, только координаты точки О (0; 0; 0) удовлетворяют обоим уравнениям, т. е. Оединственная общая точка сферы и плоскости (см. рис. 160, б). Итак, если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
3. d> R. Тогда R2- d2, и уравнению (2) не удовлетворяют координаты никакой точки. Следовательно, если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек (см. рис. 160, в).


Касательная плоскость к сфере

Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

На рис.162 плоскость α- касательная к сфере с центром О, А - точка касания. Касательная плоскость к сфере обладает свойством, аналогичным свойству касательной к окружности. Оно выражено в следующей теореме:

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Доказательство: Рассмотрим плоскость а, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис. 162). Докажем, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость α -касательная, т. е. сфера и плоскость а имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскостиα. Теорема доказана.

Обратная теорема. Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.(Самостоятельно)
Формула для вычисления площади сферы радиуса R: S = 4πг2


Конспект урока по теме "Решение задач на вписанную и описанную окружность"(8 класс)

Конспект урока по геометрии 8 класса по теме: «Решение задач по теме вписанная и описанная окружность».

1. Организационный момент. Проверка подготовки к уроку.

(2 мин.)

сообщить тему урока,

сформулировать цели урока,

запись домашнего задания и комментарии к нему. Домашнее задание: П-74, 75, в. 21-26

В течение урока мы должны проверить, привести в систему знания о вписанной и описанной около многоугольников окружностей.

2. Актуализация знаний. (9 мин)

Учащиеся выполняют устно задание «Предложи свой вариант решения задачи», определяем рациональный вариант решения.

Задачи на готовых чертежах

Вопросы:

Повторим основные теоретические вопросы. На доске предложен ряд задач. (Слайд 1-5)

По данным рисунка найти Р АВС

По данному рисунку сформулируйте задачу и решите её.

(1200,900)

Около Δ АВС описана окружность. Найти R.

По данным рисунка найти

(600)

Сумма сторон AB+CD=15 дм. Найти периметр четырехугольника.

(30 дм)

Можно ли в параллелограмм вписать окружность? ( Не всегда, надо чтобы суммы противоположных сторон были равны)

А описать около него окружность? ( Нет, не всегда, сумма противоположных углов должна быть 1800)

Приведите пример, когда можно в параллелограмм вписать окружность или описать около него окружность.

(прямоугольник – описать около него окружность, ромб – вписать окружность, квадрат – описать около него окружность, вписать окружность)

Закончите предложение:

Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения его …(биссектрис)

Центр вписанной в треугольник окружности равноудален от его …(сторон)

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его …(вершины лежат на окружности)

Окружность вписана в многоугольник, если …(все его стороны касаются окружности)

Вписанные углы равны, если они…(опираются на одну дугу)

Центр описанной около треугольника окружности равноудален от его …(вершин)

3. Применение свойств для решения задач

Работа в группах

(15 мин)

Мы повторили и еще раз озвучили основные факты по теме. Предлагаю вам в тетради решить задачу, лежащую на столе, для каждой группы.

Задание: каждый из вас в тетради решает предложенную задачу,

затем в своей группе вы обсуждаете, сверяете своё решение, к доске выходит 1 человек и дает алгоритм решения задачи.

Вы имеете право задать вопрос о ходе решения задачи и должны услышать правильный ответ на него.

I группа

Задача: Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 1200, боковая сторона 8 см. Найти: диаметр описанной окружности.

II группа

Задача: Два угла треугольника равны 800 и 700. Под каким углом видна каждая его сторона из центра вписанного окружности?

(1050, 1300, 1250)

III группа

Задача: Три стороны описанного четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найти: его стороны, если Р=24см.

(3, 6, 6, 9)

IV группа

(индивидуальная работа по карточкам с готовыми чертежами – Приложение 2)

1) № 108 4) № 107

2) № 104, 111 5) № 109, 105

3) № 106, 110

Дополнительно:

1) Четырехугольник ABCD вписан в окружность, т.ч. сторона AD - диаметр окружности,

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта - свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Окружность. Основные теоремы

\[{\Large{\text{Центральные и вписанные углы}}}\]

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

 

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

 

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

 

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

 

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка \(B\) – вершина вписанного угла \(ABC\) и \(BC\) – диаметр окружности:


 

Треугольник \(AOB\) – равнобедренный, \(AO = OB\), \(\angle AOC\) – внешний, тогда \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), откуда \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AC}\).

 

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол \(ABC\). Проведём диаметр окружности \(BD\) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

 

1) диаметр разрезал угол на два угла \(\angle ABD, \angle CBD\)(для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

 

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла \(\angle ABD, \angle CBD\), у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.


 

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

 

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

 

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.  

\[{\Large{\text{Касательная к окружности}}}\]

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

 

1) прямая \(a\) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние \(d\) от центра окружности до прямой меньше радиуса \(R\) окружности (рис. 3).

 

2) прямая \(b\) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка \(B\) – точкой касания. В этом случае \(d=R\) (рис. 4).

 

3) прямая \(c\) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).


 

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

 

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

 

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

 

Доказательство

Проведем к окружности из точки \(K\) две касательные \(KA\) и \(KB\):


 

Значит, \(OA\perp KA, OB\perp KB\) как радиусы. Прямоугольные треугольники \(\triangle KAO\) и \(\triangle KBO\) равны по катету и гипотенузе, следовательно, \(KA=KB\).

 

Следствие

Центр окружности \(O\) лежит на биссектрисе угла \(AKB\), образованного двумя касательными, проведенными из одной точки \(K\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с углами}}}\]

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

 

Доказательство

Пусть \(M\) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:


 

Покажем, что \(\angle DMB = \dfrac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\).

 

\(\angle DAB\) – внешний угол треугольника \(MAD\), тогда \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), откуда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), но углы \(\angle DAB\) и \(\angle MDA\) – вписанные, тогда \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{BD} - \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{CA} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{BD} - \buildrel\smile\over{CA})\), что и требовалось доказать.

 

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]

Доказательство

\(\angle BMA = \angle CMD\) как вертикальные.


 

Из треугольника \(AMD\): \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over{AB} - \frac12\buildrel\smile\over{CD}\).

 

Но \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), откуда заключаем, что \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB} + \frac12\cdot\buildrel\smile\over{CD} = \frac12(\buildrel\smile\over{AB} + \buildrel\smile\over{CD}).\]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

 

Доказательство

Пусть прямая \(a\) касается окружности в точке \(A\), \(AB\) – хорда этой окружности, \(O\) – её центр. Пусть прямая, содержащая \(OB\), пересекает \(a\) в точке \(M\). Докажем, что \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over{AB}\).


 

Обозначим \(\angle OAB = \alpha\). Так как \(OA\) и \(OB\) – радиусы, то \(OA = OB\) и \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Таким образом, \(\buildrel\smile\over{AB} = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).

Так как \(OA\) – радиус, проведённый в точку касания, то \(OA\perp a\), то есть \(\angle OAM = 90^\circ\), следовательно, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over{AB}\).

 

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

 

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

 

Доказательство

1) Пусть \(AB=CD\). Докажем, что меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).


 

\(\triangle AOB=\triangle COD\) по трем сторонам, следовательно, \(\angle AOB=\angle COD\). Но т.к. \(\angle AOB, \angle COD\) — центральные углы, опирающиеся на дуги \(\buildrel\smile\over{AB}, \buildrel\smile\over{CD}\) соответственно, то \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\).

 

2) Если \(\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{CD}\), то \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам \(AO=BO=CO=DO\) и углу между ними \(\angle AOB=\angle COD\). Следовательно, и \(AB=CD\).

 

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.


 

Доказательство

1) Пусть \(AN=NB\). Докажем, что \(OQ\perp AB\).

 

Рассмотрим \(\triangle AOB\): он равнобедренный, т.к. \(OA=OB\) – радиусы окружности. Т.к. \(ON\) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, \(ON\perp AB\).

 

2) Пусть \(OQ\perp AB\). Докажем, что \(AN=NB\).

 

Аналогично \(\triangle AOB\) – равнобедренный, \(ON\) – высота, следовательно, \(ON\) – медиана. Следовательно, \(AN=NB\).  

\[{\Large{\text{Теоремы, связанные с длинами отрезков}}}\]

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

 

Доказательство

Пусть хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(E\).

Рассмотрим треугольники \(ADE\) и \(CBE\). В этих треугольниках углы \(1\) и \(2\) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу \(BD\), а углы \(3\) и \(4\) равны как вертикальные. Треугольники \(ADE\) и \(CBE\) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

 

Тогда \(\dfrac{AE}{EC} = \dfrac{DE}{BE}\), откуда \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\).

 

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

 

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку \(M\) и касается окружности в точке \(A\). Пусть секущая проходит через точку \(M\) и пересекает окружность в точках \(B\) и \(C\) так что \(MB < MC\). Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\).


 

Рассмотрим треугольники \(MBA\) и \(MCA\): \(\angle M\) – общий, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB}\). По теореме об угле между касательной и секущей, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over{AB} = \angle BCA\). Таким образом, треугольники \(MBA\) и \(MCA\) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников \(MBA\) и \(MCA\) имеем: \(\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MA}{MC}\), что равносильно \(MB\cdot MC = MA^2\).

 

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки \(O\), на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки \(O\):


 

Круг абстракции - Картина на холсте

Вы очарованы абстракцией, и геометрические узоры - ваша настоящая лошадь? Образ Абстрактный круг прекрасно впишется в ваш интерьер. Вам не стоит больше ждать и как можно скорее повесить абстрактную картину на одну из стен, ведь она идеально подойдет Для гостиной. Кроме того, эти номера приобретут необычный характер и удивят гостей. Абстрактная картина - простой рецепт крутого интерьера.Независимо от того, какой стиль вы выбрали для оформления своего пространства, классический минималистский рисунок Круг абстракции , он идеально дополнит композицию. Не забудьте о сочетающихся по цвету аксессуарах и простой мебели, которые станут фоном для эффектного оформления стен. Помните, что человеческий глаз в первую очередь цепляется за пространство около метра над полом – это идеальное место для размещения картины Круг абстракции . Все картины напечатаны на холсте и натянуты на деревянный малярный станок.

Абстракция – один из самых популярных мотивов в оформлении интерьера. Они могут принимать разные формы. Одним из самых интересных является изображение. Сразу предупреждаем - это будет деталь, которая всегда будет привлекать внимание в интерьере, который украсит. Геометрические узоры в качестве темы оформления интерьера подходят практически для любого типа помещения. Картина с абстрактным рисунком - например, Абстрактный круг - идеальное решение, напр. Для выставочного зала . Они привнесут в помещение нотку дизайнерской свежести и характера, и в то же время легко дополнят и подойдут практически к любому стилю интерьера. Стиль Classic Minimalist не является исключением.

Что касается разнообразия мотивов, то Абстрактное является прекрасным примером этого. Он также включает узоры, основанные на различных визуальных эффектах, таких как Геометрические узоры . Это включает Эта стильная дифференциация делает картину в раме чрезвычайно интересным и универсальным декоративным решением.

.

Изображение - Новые китайские золотые чернила - 44826 - Uwalls.pl

МЫ ПОМОЖЕМ ВАМ ВЫБРАТЬ

Окажем бесплатные услуги дизайнера

Мы сделаем для вас бесплатную 3D визуализацию

Мы поможем вам выбрать узор

Связаться с нами

ТИП ИЗОБРАЖЕНИЯ

Модули


Список модулей


Выберите размер

  • 30 х 45 см

  • 40 х 60 см

  • 50 х 75 см

  • 60 х 90 см

  • 80 х 120 см

Выберите материал

Синтетический холст ?

Синтетический холст - плотный и прочный материал для цифровой печати, идентичный живописному холсту, водостойкая поверхность, реалистичное воспроизведение деталей, среднезернистый материал.

Холст ?

Холст - текстура напоминает холст художника (это мелкие нити, переплетающиеся друг с другом). Мягкое, детальное воспроизведение изображения на матовой поверхности.

Дополнительные опции

Благодаря ламинированию изображение выглядит более естественно и устойчиво к внешним воздействиям и влаге. Блеска не будет.