Post Icon



Ноль разделить на число


Урок математики по теме "Деление 0 на число". 3-й класс

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность.
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо?  Узнать правило деления 0 на число.
Формулирование темы и целей урока.
3. Открытие нового знания.
Организация исследовательской деятельности и выведение нового правила. Установление связи с ранее изученным.
Какие же у вас есть предположения?
0:5=0
0:5=5
предположение
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6 : 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0 : а = 0.

Прочитайте правило в учебнике и сравните с вашим.

А давайте попробуем любое число разделить на 0.
Например, 5:0. Сколько получится?
Нельзя подобрать такое число, при умножении которого на 0 получится 5.
Вывод: НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ.

формулировка правила.
4. Первичное закрепление
Тренировка в выполнении правила действия.            Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.    
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания. В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
(30- 3·10):5= (26-17):0=
13 · х = 0 0 · х = 9
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностей Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать?
Масса 1 ящ. кол-во масса общ.
Сл. 8 кг 1) : 48кг
Гр. 9 кг    ?кг 2)·
Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
  солнышко  – я доволен собой, у меня всё получилось 
  белое облако  – всё хорошо, но я мог работать лучше; 
  серое облако  – урок обычный, ничего интересного; 
  капелька  – ничего не получилось 
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

Можно ли 0 разделить на 2. Почему нельзя делить на ноль? Наглядный пример

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?

Получится бесконечное число "нулевых долек". Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.

Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: "Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?" Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Учебник: «Математика» М.И.Моро

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия,работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Ход урока

Цель этапа Содержание этапа Деятельность ученика
1. Орг. момент
Подготовка уч-ся к работе, позитивный настрой на учебную деятельность. Стимулирование на учебную деятельность .
Проверьте свою готовность к уроку, сядьте ровно, облокотитесь на спинку стула.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.
Организация рабочего места, проверка посадки.
2. Мотивация.
Стимулирование познавательной
активности,
активизация мыслительного процесса
Актуализация знаний, достаточных для приобретения нового знания.
Устный счёт.
Проверка знания табличного умножения:
Решение заданий, основанных на знании табличного умножения.
А) найди лишнее число:
2 4 6 7 10 12 14
6 18 24 29 36 42
Объясните, почему оно лишнее и каким числом его надо заменить.
Нахождение лишнего числа.
Б) вставьте пропущенные числа:
… 16 24 32 … 48 …
Добавление недостающего числа.
Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
В) расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5).
Классификация примеров по группам.
Карточки:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=
Сильные ученики работают по индивидуальным карточкам.
Что вы заметили? Есть ли здесь лишний пример?
Все ли примеры вы смогли решить?
У кого возникли затруднения?
Чем этот пример отличается от остальных?
Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?
Нахождение затруднения.
Выявление недостающего знания, причины затруднения.
Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?
Как же он поведёт себя при елении?
Наблюдение над известными приёмами действий с 0 и соотношение с исходным примером.
Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.
Таблица на доске.
Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число.
Выдвижение гипотезы,
Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

поиск решения на основе ранее изученного,
Формулирование правила.
Какое же правило теперь можно сформулировать?
При делении 0 на число получается 0.
0: а = 0.
Решение типовых заданий с комментированием.
Работа по схеме (0:а=0)
5. Физминутка.
Профилактика нарушения осанки, снятие усталости с глаз, общего утомления.
6. Автоматизация знаний.
Выявление границ применимости нового знания. В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)
Использование полученных знаний в разных заданиях.
Работа в группах.
Что неизвестно в этих уравнениях?
Вспомните, как узнать неизвестный множитель.
Решите уравнения.
Какое решение в 1 уравнении? (0)
Во 2? (нет решения, на 0 делить нельзя)
Обращение к ранее изученным умениям.
** Составьте уравнение с решением х=0 (х·5=0) Для сильных уч-ся творческое задание
7. Самостоятельная работа.
Развитие самостоятельности, познавательных способностей Самостоятельная работа с последующей взаимопроверкой.
№6
Активные умственные действия учащихся, связанные с поисками решения, опираясь на свои знания. Самоконтроль и взаимоконтроль.
Сильные ученики проверяют и помогают более слабым.
8. Работа над ранее пройденным материалом. Отработка умения решения задач.
Формирование навыка решения задач. Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Прочитайте задачу. Что поможет решить задачу? (таблица)
Какие столбики в таблице надо записать? Заполните таблицу. Составьте план решения: что надо узнать в 1, во 2 действии?
Работа над задачей с использованием таблицы.
Планирование решения задачи.
Самостоятельная запись решения.
Самоконтроль по образцу.
9. Рефлексия. Итоги урока.
Организация самооценки деятельности. Повышение мотивации ребёнка.
Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
Какую цель ставили перед собой?
Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
Оцените свою работу, выставив соответствующий значок:
солнышко – я доволен собой, у меня всё получилось
белое облако – всё хорошо, но я мог работать лучше;
серое облако – урок обычный, ничего интересного;
капелька – ничего не получилось
Осознавание своей деятельности, самоанализ своей работы. Фиксация соответствия результатов деятельности и поставленной цели.
10. Домашнее задание.

Каждый из нас со школы вынес как минимум два незыблемых правила: «жи и ши — пиши с буквой И» и «на ноль делить нельзя «. И если первое правило можно объяснить особенностью Русского языка, то второе вызывает вполне логичный вопрос: «А почему?»

Почему нельзя делить на ноль?

Не совсем понятно, почему об этом не говорят в школе, но с точки зрения арифметики ответ очень даже прост.

Возьмем число 10 и поделим его на 2 . Это подразумевает, что мы взяли 10 каких-либо предметов и расставили их по 2 равным группам, то есть 10: 2 = 5 (по 5 предметов в группе). Этот же пример можно записать и с помощью уравнения x * 2 = 10 х здесь будет равен 5 ).

Теперь, на секунду представим, что на ноль делить можно, и попробуем 10 делить на 0 .

Получится следующее: 10: 0 = х , следовательно х * 0 = 10 . Но наши расчеты не могут быть верны, так как при умножении любого числа на 0 всегда получается 0 . В математике не существует такого числа, которое при умножении на 0 давало бы, что-то кроме 0 . Следовательно, уравнения 10: 0 = х и х * 0 = 10 не имеют решения. Ввиду этого и говорят, что на ноль делить нельзя.

Когда можно делить на ноль?

Есть вариант, при котором деление на ноль все же имеет некоторый смысл. Если мы делим сам ноль то получаем следующее 0: 0 = х , а значит х * 0 = 0 .

Предположим, что х=0 , тогда уравнение не вызывает никаких вопросов, все идеально сходится 0: 0 = 0 , а значит и 0 * 0 = 0 .

Но что если х ≠ 0 ? Предположим, что х = 9 ? Тогда 9 * 0 = 0 и 0: 0 = 9 ? А если х=45 , то 0: 0 = 45 .

Мы действительно можем делить 0 на 0 . Но это уравнение будет иметь бесконечное множество решений, так как 0: 0 = чему угодно .

Почему 0: 0 = NaN

Пробовали ли Вы когда-нибудь поделить 0 на 0 на смартфоне? Так как ноль деленный на ноль дает абсолютно любое число, программистам пришлось искать выход из данной ситуации, ведь не может же калькулятор игнорировать ваши запросы. И они нашли своеобразный выход: при делении ноль на ноль вы получите NaN (not a number — не число) .

Почему x: 0 = а x: -0 = —

Если Вы попробуете на смартфоне разделить какое-либо число на ноль,то ответ будет равен бесконечности. Все дело в том, что в математике 0 иногда рассматривается не как «ничего», а как «бесконечно малая величина». Следовательно, если любое число поделить на бесконечно малую величину, получится бесконечно большая величина (∞) .

Так можно ли делить на ноль?

Ответ, как это часто бывает, неоднозначен. В школе, лучше всего, зарубить себе на носу, что на ноль делить нельзя — это избавит Вас от ненужных сложностей. А вот если будете поступать на математический факультет в университете, на ноль все-таки делить придется.

почему нельзя делить на ноль. И здесь нюанс с двумя нулями

В математике число ноль занимает особое место. Дело в том, что оно, по сути дела, означает «ничто», «пустоту», однако его значение действительно трудно переоценить. Для этого достаточно вспомнить хотя бы то, что именно с нулевой отметк и начинается отсчет координат положения точки в любой системе координат.

Ноль широко используется в десятичных дробях для определения значений «пустых» разрядов, находящихся как до, так и после запятой. Кроме того, именно с ним связано одно из основополагающих правил арифметики, гласящее о том, что на ноль делить нельзя. Его логика, собственно говоря, проистекает из самой сути этого числа: действительно, невозможно представить, чтобы некая отличное от него значение (да и само оно – тоже) было разделено на «ничто».

Примеры вычисления

С нулем осуществляются все арифметические действия, причем в качестве его «партнеров» по ним могут использоваться целые числа, обычные и десятичные дроби, причем все они могут иметь как положительное, так и отрицательное значение. Приведем примеры их осуществления и некоторые пояснения к ним.

СЛОЖЕНИЕ

При прибавлении нуля к некоторому числу (как целому, так и к дробному, как к положительному, так и к отрицательному) его значение остается абсолютно неизменным.

Пример 1

Двадцать четыре плюс ноль равняется двадцать четыре.

Пример 2

Семнадцать целых три восьмых плюс ноль равняется семнадцать целых три восьмых.

УМНОЖЕНИЕ

При умножении любого числа (целого, дробного, положительного или отрицательного) на ноль получается ноль .

Пример 1

Пятьсот восемьдесят шесть умножить на ноль равняется ноль .

Пример 2

Ноль умножить на сто тридцать пять целых шесть седьмых равняется ноль .

Пример 3

Ноль умножить на ноль равняется ноль .

ДЕЛЕНИЕ

Правила деления чисел друг на друга в тех случаях, когда одно из них представляет собой ноль, различаются в зависимости от того, в какой именно роли выступает сам ноль: делимого или делителя?

В тех случаях, когда ноль представляет собой делимое, результат всегда равен ему же, причем вне зависимости от значения делителя.

Пример 1

Ноль разделить на двести шестьдесят пять равняется ноль .

Пример 2

Ноль разделить на семнадцать пятьсот девяносто шестых равняется ноль .

Делить ноль на ноль согласно правилам математики нельзя. Это означает, что при совершении такой процедуры частное является неопределенным. Таким образом, теоретически оно может представлять собой абсолютно любое число.

0: 0 = 8 ибо 8 × 0 = 0

В математике такая задача, как деление нуля на ноль , не имеет никакого смысла, поскольку ее результат представляет собой бесконечное множество. Это утверждение, однако, справедливо в том случае, если не указаны никакие дополнительные данные, которые могут повлиять на итоговый результат.

Таковые, при их наличии, должны состоять в том, чтобы указывать на степень изменения величины как делимого, так и делителя, причем еще до наступления того момента, когда они превратились в ноль . Если это определено, то такому выражению, как ноль разделить на ноль , в подавляющем большинстве случаев можно придать некий смысл.

Моя трёхлетняя дочка София в последнее время частенько упоминает «ноль», например, в таком контексте:

- Соня, вот ты вроде сначала не послушалась, а затем послушалась, что же получается?..
- Ну… ноль!

Т.е. ощущение отрицательных чисел и нейтральности нуля уже имеет, о как. Скоро поинтересуется: почему же это на ноль делить нельзя?
И вот решил я простыми словами записать всё, что я ещё помню про деление на ноль и всё такое.

Деление вообще лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать.
Ну, или один разделить на икс раз увидеть…

Тут сразу видно, что ноль - это центр жизни, вселенной и всего такого. Ответом на главный вопрос про всё это пусть себе будет 42, а вот центр - по-любому 0. У него даже знака нет, ни плюс (послушалась), ни минус (не послушалась), он таки реально ноль. И в поросятах знает толк.

Потому что если любого поросёнка умножить на ноль, то поросёнка засасывает в эту круглую чёрную дыру, и получается опять ноль. Не такой уж этот ноль и нейтральный, когда дело от сложения-вычитания доходит до умножения, не говоря уже про деление… Там если ноль сверху «0/x» - то опять чёрная дыра. Всё поедает в ноль. А вот если при делении, да ещё и снизу - «x/0», то начинается… следуй за белым кроликом, Соня!

В школе тебе скажут «на ноль делить нельзя» и не покраснеют. В доказательство тыкнут на калькуляторе «1/0=» и обычный калькулятор, тоже не покраснев, напишет «E», «Error», мол, «нельзя - значит нельзя». Хотя что там у тебя будет считаться обычным калькулятором - ещё вопрос. Мне вот сейчас, в 2014-ом, стандартный калькулятор на телефоне-андроиде пишет совсем другое:

Ничего себе бесконечность. Скользи себе взглядом, круги нарезай. Вот тебе и нельзя. Оказывается можно. Если осторожно. Потому что не осторожно мой Android пока тоже не согласен: «0/0=Error», опять нельзя. Попробуем ещё разок: «-1/0 = -∞», о как. Интересное мнение, но я с ним не согласен. Как не согласен и с «0/0=Error».

Кстати, JavaScript, который питает нынешние сайты, тоже не согласен с калькулятором андроида: зайди в консоль браузера (ещё F12?) и напиши там: «0/0» (ввод). JS тебе ответит: «NaN». Это не ошибка. Это «Not a Number» - т.е. какая-то штука такая, но не число. При том что «1/0» JS тоже понимает как «Infinity». Это уже ближе. Но пока только тепло…

В университете - высшая математика. Там пределы, полюса, и прочее шаманство. И всё усложняется, усложняется, ходят вокруг да около, но только бы не нарушать хрустальные законы математики. А вот если не пытаться вписать деление на ноль в эти существующие законы, то можно прочувствовать эту фантастику - на пальцах.

Для этого посмотрим-ка ещё раз на деление:

Следи за правой линией, справа налево. Чем ближе икс к нулю, тем сильнее взлетает вверх разделённое на икс. И где-то там в облаках «плюс бесконечность». Она всегда дальше, как горизонт, её не догонишь.

А теперь следи за левой линией, слева направо. Та же история, только теперь разделённое улетает вниз, бесконечно вниз, в «минус бесконечность». Отсюда и мнение, что «1/0= +∞», а «-1/0 = 1/-0 = -∞».

Но фокус в том, что «0 = -0», нету у нуля знака, если не усложнять с пределами. И вот если поделить единицу на такой «простой» ноль без знака, то не логично ли предположить, что получится и бесконечность - «просто» бесконечность, без знака, как ноль. Где она - сверху или снизу? Она везде - бесконечно далеко от нуля во всех направлениях. Это и есть ноль, вывернутый наизнанку. Ноль - нет ничего. Бесконечность - есть всё. И положительное, и отрицательное. Вообще всё. И сразу. Абсолют.

Но там что-то было про «0/0», что-то другое, не бесконечность… Сделаем такой трюк: «2*0=0», ага, скажет учительница в школе. Ещё: «3*0=0» - опять ага. И немного наплевав на «на ноль делить нельзя», мол, весь мир и так потихоньку делит, получим: «2=0/0» и «3=0/0». В каком там классе это проходят, только без нуля, конечно.

Минуточку, получается «2 = 0/0 = 3», «2=3»?! Вот поэтому и боятся, вот поэтому и «нельзя». Страшнее «1/0» только «0/0», его даже калькулятор андроида боится.

А мы не боимся! Потому что у нас есть сила математики воображения. Мы можем представить себя бесконечным Абсолютом где-то там в звёздах, посмотреть оттуда на грешный мир конечных чисел и людей и понять, что с этой точки зрения они все одинаковые. И «2» c «3», и даже «-1», и училка в школе, возможно, тоже.

Так вот, я скромно предполагаю, что 0/0 - это весь конечный мир, точнее всё, что и не бесконечно и не пустота.

Вот как выглядит ноль, делённый на икс, в моих фантазиях, далёких от официальной математики. На самом деле похоже на 1/х, только перегиб не в единице, а в нуле. Кстати, у 2/x перегиб в двойке, а у 0.5/x - в 0.5.

Получается, 0/x при x=0 принимает все конечные значения - не бесконечности, не пустоту. Там в графике дырочка в нуле, оси проглядывают.

Можно конечно возразить, что «0*0 = 0», а значит ноль (пустота) тоже попадает в категорию 0/0. Чуть забегу вперёд - там будут степени нуля и это возражение разлетится в осколки.

Упс, единичка-то в бесконечности тоже может быть тоже записана как 0/0, получится (0/0)/0 - бесконечность. Вот теперь порядок, всё можно выразить соотношением нулей.

Например, если к бесконечности прибавить конечное, то бесконечность поглотит конечное, останется бесконечностью:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.

А если бесконечность умножить на пустоту, то они поглощают друг друга, и получается конечный мир:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.

Но это только первый уровень сновидений. Можно копать глубже.

Если ты уже знаешь понятие «степень числа», и что «1/x = x^-1», то, подумав, сможешь перейти от всех этих делений и скобок (вроде (0/0)/0) просто к степеням:

1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1

Подсказка.
Тут с бесконечностью и пустотой всё просто, как в школе. А конечный мир переходит к степеням вот так:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.

Уфф!

Получается, что положительные степени нуля - это нули, отрицательные степени нуля - это бесконечности, а нулевая степень нуля - это конечный мир.

Такой вот получается универсальный объект «0^x». Такие объекты прекрасно между собой взаимодействуют, опять-таки многим законам подчиняются, красота, в общем.

Моих скромных познаний математики хватило, чтобы нарисовать из них абелеву группу, которая, будучи изолированной в вакууме («просто абстрактные объекты, такая форма записи, вроде экспоненты»), даже выдержала проверку крутейшим преподом по матану с вердиктом «интересно, но ничего не получится». Ещё бы тут что-нить получилось, это ж табуированная тема - деление на ноль. В общем, не грузись.

Попробуем лучше просто умножить бесконечность на конечное число:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.

Опять же, бесконечность поглотила конечное число так же, как и её антипод ноль поглощает конечные числа, та же чёрная дыра:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.

А ещё оказывается что степени - это как сила. Т.е. ноль второй степени сильнее нуля обычного (первой степени, 0^1). И бесконечность минус второй степени сильнее бесконечности обычной (0^-1).

А когда пустота сталкивается с абсолютом, они меряются силой - у кого больше, тот и победит:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.

Если же они равны силами, то аннигилируются и остаётся конечный мир:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.

Кстати, официальная математика уже рядом. Её представители знают про «полюса» и что у полюсов разная сила (порядок), а так же про «нуль порядка k». Но они всё топчутся на прочной поверхности «рядом с» и боятся прыгнуть в чёрную нору дыру.

И последний для меня - третий уровень сновидений. Вот, например, эти все 0^-1 и 0^-2 - бесконечности разной силы. Или 0^1, 0^2 - нули разной силы. Но ведь и «-1» и «-2» и «+1» и «+2» - это всё - 0/0, равное 0^0, уже проходили. Получается, что с этого уровня сновидений, уже всё равно вообще что это - нули, бесконечности, и даже конечный мир туда при некотором просветлении попадает. В одну точку. В одну категорию. Называется это счастье - Сингулярность.

Надо признать, что вне состояния просветления одной точки я не наблюдаю, но одну категорию - объединение «0^0 U 0^(0^0)» - вполне.

Какую из всего этого можно вынести пользу? Ведь даже чуть менее безумные «мнимые числа», что тоже рвут калькуляторы в Error = √-1, и те смогли стать официальной математикой и теперь упрощают расчёты сталеварения.

Как листья на дереве издалека кажутся одинаковыми, но если рассмотреть их внимательнее - они все разные. А если задуматься, то опять одинаковые. И мало чем отличаются от тебя или меня. Вернее, вообще ничем не отличаются, если крепко задуматься.

Польза тут в умении и фокусироваться на отличиях и абстрагироваться. Это очень полезно и в работе, и в жизни, и даже в отношении к смерти.

Вот такие путешествия в кроличью нору, Соня!

Число 0 можно представить, как некую границу, отделяющую мир реальных чисел от мнимых или отрицательных. Благодаря двусмысленному положению, многие операции с этой числовой величиной не подчиняются математической логике. Невозможность деления на нуль - яркий тому пример. А разрешенные арифметические действия с нулем могут быть выполнены с помощью общепринятых определений.

История нуля

Ноль является точкой отсчета во всех стандартных системах исчисления. Европейцы стали использовать это число сравнительно недавно, но мудрецы Древней Индии пользовались нулем за тысячу лет до того, как пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками. Ещё раньше индийцев ноль являлся обязательной величиной в числовой системе майя. Этот американский народ использовал двенадцатеричную систему исчисления, а нулем у них начинался первый день каждого месяца. Интересно, что у майя знак, обозначающий «ноль», полностью совпадал со знаком, определяющим «бесконечность». Таким образом, древние майя делали вывод о тождественности и непознаваемости этих величин.

Математические действия с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Сложение: если к произвольному числу добавить ноль, то оно не изменит своего значения (0+x=x).

Вычитание: при вычитании нуля из любого числа значение вычитаемого остается неизменным (x-0=x).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает в произведении 0 (a*0=0).

Деление: ноль можно разделить на любое число, не равное нулю. При этом значение такой дроби будет 0. А деление на ноль запрещено.

Возведение в степень. Это действие можно выполнить с любым числом. Произвольное число, возведенное в нулевую степень, даст 1 (x 0 =1).

Ноль в любой степени равен 0 (0 а =0).

При этом сразу возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

О том, что деление на ноль невозможно, многие знают со школьной скамьи. Но объяснить причину такого запрета почему-то не получается. В самом деле, почему формула деления на ноль не существует, а вот другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дают математики.

Все дело в том, что привычные арифметические действия, которые школьники изучают в начальных классах, на самом деле далеко не так равноправны, как нам кажется. Все простые операции с числами могут быть сведены к двум: сложению и умножению. Эти действия составляют суть самого понятия числа, а остальные операции строятся на использовании этих двух.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример на вычитание: 10-2=8. В школе его рассматривают просто: если от десяти предметов отнять два, останется восемь. Но математики смотрят на эту операцию совсем по-другому. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Данный пример можно записать и другим способом: х+2=10. Для математиков неизвестная разность - это просто число, которое нужно добавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания здесь не требуется, нужно просто найти подходящее числовое значение.

Умножение и деление рассматриваются так же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные кучки. Но в действительности это просто перевернутая формула записи 3х4=12.Такие примеры на деление можно приводить бесконечно.

Примеры на деление на 0

Вот тут и становится понемногу понятным, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняется своим правилам. Все примеры на деление этой величины можно сформулировать в виде 6:0=х. Но это же перевернутая запись выражения 6 * х=0. Но, как известно, любое число, умноженное на 0, дает в произведении только 0. Это свойство заложено в самом понятии нулевой величины.

Выходит, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какую-либо осязаемую величину, не существует, то есть данная задача не имеет решения. Такого ответа бояться не следует, это естественный ответ для задач такого типа. Просто запись 6:0 не имеет никакого смысла, и она ничего не может объяснить. Кратко говоря, это выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Существует ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 законна, можно ли ноль разделить на ноль? Ведь уравнение вида 0х 5=0 вполне легально. Вместо числа 5 можно поставить 0, произведение от этого не поменяется.

Действительно, 0х0=0. Но поделить на 0 по-прежнему нельзя. Как было сказано, деление - это просто обратная операция умножения. Таким образом, если в примере 0х5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0х0=5. Или 10. Или бесконечность. Деление бесконечности на ноль — как вам это понравится?

Но если в выражение подходит любое число, то оно не имеет смысла, мы не можем из бесконечного множества чисел выбрать какое-то одно. А раз так, это значит и выражение 0:0 не имеет смысла. Получается, что на ноль нельзя делить даже сам ноль.

Высшая математика

Деление на ноль — это головная боль для школьной математики. Изучаемый в технических вузах математический анализ немного расширяет понятие задач, которые не имеют решения. Например, к уже известному выражению 0:0 добавляются новые, которые не имеют решения в школьных курсах математики:

  • бесконечность, разделенная на бесконечность: ∞:∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞−∞;
  • единица, возведенная в бесконечную степень: 1 ∞ ;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞*0;
  • некоторые другие.

Элементарными методами решить такие выражения невозможно. Но высшая математика благодаря дополнительным возможностям для ряда подобных примеров дает конечные решения. Особенно это видно в рассмотрении задач из теории пределов.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной величиной. А выражения, в которых при подставлении нужного значения получается деление на ноль, преобразовываются. Ниже представлен стандартный пример раскрытия предела при помощи обычных алгебраических преобразований:

Как видно в примере, простое сокращение дроби приводит ее значение к вполне рациональному ответу.

При рассмотрении пределов тригонометрических функций их выражения стремятся свести к первому замечательному пределу. При рассмотрении пределов, в которых знаменатель обращается в 0 при подставлении предела, используют второй замечательный предел.

Метод Лопиталя

В некоторых случаях пределы выражений можно заменить пределом их производных. Гийом Лопиталь - французский математик, основоположник французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных этих выражений. В математической записи его правило выглядит следующим образом.

У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

  • В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
  • За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
  • Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
  • Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
  • Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо .

Можно ли делить на ноль?

На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения :

В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:

  1. Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
  2. Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
  3. Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.

Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.

Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?

Можно ли ноль делить на число?

С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:

  • Ноль можно делить.
  • Для деления следует использовать любое число.
  • Нельзя делить ноль на ноль.

Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.

Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить , а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.

Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль . Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.

Если бесконечность делить на ноль

О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения - понятия разные .

Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:

  • В числители должен быть знак бесконечности.
  • В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
  • В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.

Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.

В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости . Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.

А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил - наш соотечественник, Перельман . Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.

Парадоксы и бессмысленность деления на ноль

Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:

  • Деление представляют как функцию, обратную умножению .
  • Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
  • По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
  • В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
  • Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение - любое число равно любому числу.

Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения , от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.

С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря - процесса деления не происходит , следовательно, и результата этого события быть не может.

Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.

Видео: делим на ноль

В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:

Деление на ноль в математике - деление, при котором делитель равен нулю. Такое деление может быть формально записано ⁄ 0 , где - это делимое.

В обычной арифметике (с вещественными числами) данное выражение не имеет смысла, так как:

  • при ≠ 0 не существует числа, которое при умножении на 0 даёт, поэтому ни одно число не может быть принято за частное ⁄ 0 ;
  • при = 0 деление на ноль также не определено, поскольку любое число при умножении на 0 даёт 0 и может быть принято за частное 0 ⁄ 0 .

Исторически одна из первых ссылок на математическую невозможность присвоения значения ⁄ 0 содержится в критике Джорджа Берклиисчисления бесконечно малых.

Логические ошибки

Поскольку при умножении любого числа на ноль в результате мы всегда получаем ноль, при делении обеих частей выражения × 0 = × 0, верного вне зависимости от значения и, на 0 получаем неверное в случае произвольно заданных переменных выражение = . Поскольку ноль может быть задан не явно, но в виде достаточно сложного математического выражения, к примеру в форме разности двух значений, сводимых друг к другу путём алгебраических преобразований, такое деление может быть достаточно неочевидной ошибкой. Незаметное внесение такого деления в процесс доказательства с целью показать идентичность заведомо разных величин, тем самым доказывая любое абсурдное утверждение, является одной из разновидностей математического софизма .

В информатике

В программировании, в зависимости от языка программирования, типа данных и значения делимого, попытка деления на ноль может приводить к различным последствиям. Принципиально различны последствия деления на ноль в целой и вещественной арифметике:

  • Попытка целочисленного деления на ноль всегда является критической ошибкой, делающей невозможным дальнейшее исполнение программы. Она приводит либо к генерации исключения (которое программа может обработать сама, избежав тем самым аварийной остановки), либо к немедленной остановке программы с выдачей сообщения о неисправимой ошибке и, возможно, содержимого стека вызовов. В некоторых языках программирования, например, в Go, целочисленное деление на нулевую константу считается синтаксической ошибкой и приводит к аварийному прекращению компиляции программы.
  • В вещественной арифметике последствия могут быть различным в разных языках:
  • генерация исключения или остановка программы, как и при целочисленном делении;
  • получение в результате операции специального нечислового значения. Вычисления при этом не прерываются, а их результат впоследствии может быть интерпретирован самой программой или пользователем как осмысленное значение или как свидетельство некорректности вычислений. Широко используется принцип, согласно которому при делении вида ⁄ 0 , где ≠ 0 - число с плавающей запятой, результат оказывается равен положительной или отрицательной (в зависимости от знака делимого) бесконечности - или, а при = 0 в результате получается специальное значению NaN (сокр. от англ. not a number - «не число»). Такой подход принят в стандарте IEEE 754, который поддерживается многими современными языками программирования.

Случайное деление на ноль в компьютерной программе порой становится причиной дорогих или опасных сбоев в работе управляемого программой оборудования. К примеру, 21 сентября 1997 года в результате деления на ноль в компьютеризированной управляющей системе крейсера USS Yorktown (CG-48) Военно-морского флота США произошло отключение всего электронного оборудования в системе, в результате чего силовая установка корабля прекратила свою работу .

См. также

Примечания

Функция = 1 ⁄ . Когда стремится к нулю справа, стремится к бесконеч­ности; когда стремится к нулю слева, стремится к минус бесконечности

Если на обычном калькуляторе поделить какое-либо число на ноль, то он вам выдаст букву Е или слово Error, то есть «ошибка».

Калькулятор компьютера в аналогичном случае пишет (в Windows XP) : «Деление на нуль запрещено».

Всё согласуется с известным со школы правилом, что на ноль делить нельзя.

Разберёмся, почему.

Деление — это математическая операция, обратная умножению. Деление определяется через умножение.

Поделить число a (делимое, например 8) на число b (делитель, например число 2) — значит найти такое число x (частное), при умножении которого на делитель b получается делимое a (4 · 2 = 8), то есть a разделить на b значит решить уравнение x · b = a.

Уравнение a: b = x равносильно уравнению x · b = a.

Мы заменяем деление умножением: вместо 8: 2 = x пишем x · 2 = 8.

8: 2 = 4 равносильно 4 · 2 = 8

18: 3 = 6 равносильно 6 · 3 = 18

20: 2 = 10 равносильно 10 · 2 = 20

Результат деления всегда можно проверить умножением. Результатом умножения делителя на частное должно быть делимое.

Аналогично попробуем поделить на ноль.

Например, 6: 0 = … Нужно найти такое число, которое при умножении на 0 даст 6. Но мы знаем, что при умножении на ноль всегда получается ноль. Не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы что-то другое кроме нуля.

Когда говорят, что на ноль делить нельзя или запрещено, то имеется в виду, что не существует числа, соответствующего результату такого деления (делить-то на ноль можно, разделить — нельзя:)).

Зачем в школе говорят, что на ноль делить нельзя?

Поэтому в определении операции деления a на b сразу подчёркивается, что b ≠ 0.

Если всё выше написанное вам показалось слишком сложным, то совсем на пальцах: Разделить 8 на 2 означает узнать, сколько нужно взять двоек, чтобы получилось 8 (ответ: 4). Поделить 18 на 3 означает узнать, сколько нужно взять троек, чтобы получить 18 (ответ: 6).

Поделить 6 на ноль означает узнать, сколько нужно взять нулей, чтобы получить 6. Сколько ни бери нулей, всё равно получится ноль, но никогда не получится 6, т. е. деление на ноль не определено.

Интересный результат получается, если попробовать поделить число на ноль на калькуляторе андроида. На экране отобразится ∞ (бесконечность) (или — ∞, если делите отрицательное число). Данный результат является неверным, т. к. не существует числа ∞. По-видимому, программисты спутали совершенно разные операции — деление чисел и нахождение предела числовой последовательности n/x, где x → 0. При делении же нуля на нуль будет написано NaN (Not a Number — Не число).

«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики — сложение, вычитание, умножение и деление — на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них — сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 - 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 - 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 - 3 — это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания.

Деление на ноль

Есть только задача — найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 — это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль?

В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее — у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Функция «деление» не определена для области значений, в которой делитель равен нулю. Делить можно, но результат — не определён

Дельть на ноль нельзя. Математика 2 класса средней школы.

Если мне не изменяет память, то ноль можно представить как бесконечно малую величину, так что бесконечность будет. А школьное «ноль — ничего» — это просто упрощение, их таких в школьной математике ууууууу сколько) . Но без них никак, все в свое время.

Войдите, чтобы написать ответ

Деление на ноль

Частное от деления на ноль какого-либо числа, отличного от нуля, не существует.

Рассуждения здесь следующие: так как в этом случае никакое число не может удовлетворить определению частного.

Напишем, например,

какое бы число ни взять на пробу (скажем, 2, 3, 7), оно не годится потому что:

\[ 2 · 0 = 0 \]

\[ 3 · 0 = 0 \]

\[ 7 · 0 = 0 \]

Что будет если поделить на 0?

д., а нужно получить в произведении 2,3,7.

Можно сказать, что задача о делении на нуль числа, отличного от нуля, не имеет решения. Однако число, отличное от нуля, можно разделить, на число, как угодно близкое к нулю, и чем ближе делитель к нулю, тем больше будет частное. Так, если будем делить 7 на

\[ \frac{1}{10}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1000}, \frac{1}{10000} \]

то получим частные 70, 700, 7000, 70 000 и т. д., которые неограниченно возрастают.

Поэтому часто говорят, что частное от деления 7 на 0 «бесконечно велико», или «равно бесконечности», и пишут

\[ 7: 0 = \infin \]

Смысл этого выражения состоит в том, что если делитель приближается к нулю, а делимое остается равным 7 (или приближается к 7), то частное неограниченно увеличивается.

Деление на 0,1. Деление на 0,01. Деление на 0,001

Как быстрее разделить число на  \(0,1\); \(0,01\); \(0,001\) и т.д.? Для этого тебе даже не понадобиться калькулятор, ведь есть специальное правило. \(0,1-\) это десятичная дробь приведём её к виду обыкновенной дроби:

 

То есть деление на \(0,1\) можно заменить делению на \(\frac{1}{10}\), а при делении на \(\frac{1}{10}\) , мы меняет местами числитель и знаменатель . Число обратное \(\frac{1}{10}-\) это \(10.\) То есть для того чтобы разделить на \(0,1\) надо число умножить на \(10.\) Легко не так ли?

Аналогичное правило и для  \(0,01\): при деление на \(0,01\) можно заменить делению на \(\frac{1}{100}\), а при делении на \(\frac{1}{100}\) мы меняет местами числитель и знаменатель. То есть для того чтобы разделить на \(0,01\) надо число умножить на \(100\).

Аналогичное правило и для  \(0,001\): при деление на \(0,001\) можно заменить делению на \(\frac{1}{1000}\), а при делении на \(\frac{1}{1000}\) мы меняет местами числитель и знаменатель. То есть для того чтобы разделить на \(0,001\) надо число умножить на \(1000\).


Пример 1.  Разделите \(15\) на \(0,1\).

Решение: \(15:0,1=15:\frac{1}{10}=15*10=150\)

Ответ: \(150\).

Пример 2.  Разделите \(25\) на \(0,01\).

Решение: \(25:0,01=25:\frac{1}{100}=25*100=2500\)

Ответ: \(2500\).


Пример 3.  Разделите \(5\) на \(0,001\).

Решение: \(5:0,001=5:\frac{1}{1000}=5*1000=5000\)

Ответ: \(5000\).

Можно ли делить на ноль? Отвечает математик | Наука | Общество

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея, рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000 : 0 =...

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0 : 0 = ...

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

1000 : 100 = 10.

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000 : 50 = 20.

Еще один:

1000 : 40 = 25.

И потопали дальше:

1000 : 25 = 40,
1000 : 20 = 50,
  1000 : 10 = 100,
    1000 : 8 = 125,
    1000 : 5 = 200,
    1000 : 4 = 250,
    1000 : 2 = 500,
      1000 : 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

 

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

 

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

 

Посмотрим на последовательность частных:

 

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

 

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

 

 

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0. Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

 

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Можно ли 0 разделить на число. Деление на ноль

Ноль сам по себе цифра очень интересная. Сам по себе означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает ее значимость в 10 раз. Любые числа в нулевой степени всегда дают 1. Этот знак использовали еще в цивилизации майя, причем он у них еще обозначал понятие «начало, причина». Даже календарь у начинался с нулевого дня. А еще эта цифра связана со строгим запретом.

Еще с начальных школьных лет все мы четко усвоили правило «на ноль делить нельзя». Но если в детстве многое воспринимаешь на веру и слова взрослого редко вызывают сомнения, то со временем иногда хочется все-таки разобраться в причинах, понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? На этот вопрос хочется получить понятное логическое объяснение. В первом классе учителя это сделать не могли, потому как в математике правила объясняются с помощью уравнений, а в том возрасте мы и представления не имели о том, что это такое. А теперь пришла пора разобраться и получить понятное логическое объяснение того, почему нельзя делить на ноль.

Дело в том, что в математике лишь две из четырех основных операций (+, - , х, /) с числами признаются независимыми: умножение и сложение. Остальные же операции принято считать производными. Рассмотрим простенький пример.

Вот скажите, сколько получится, если от 20 отнять 18? Естественно, в нашей голове моментально возникает ответ: это будет 2. А как мы пришли к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все ясно, что получится 2, кто-то пояснит, что от 20 копеек отнял 18 и у него получилось две копейки. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, однако с точки зрения математики решать эту задачу следует по-другому. Еще раз напомним, что главными операциями в математике являются умножение и сложение и поэтому в нашем случае ответ кроется в решении следующего уравнения: х + 18 = 20. Из которого и вытекает, что х = 20 - 18, х =2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? Ведь и так все элементарно просто. Однако без этого тяжело объяснить почему нельзя делить на ноль.

А теперь посмотрим что получится если мы пожелаем 18 разделить на ноль. Снова составим уравнение: 18: 0 = х. Поскольку операция деления является производной от процедуры умножения, то преобразовав наше уравнение получим х * 0 = 18. Вот здесь как раз и начинается тупик. Любое число на месте икса при умножении на ноль даст 0 и получить 18 нам никак не удастся. Теперь становится предельно ясно почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно делить на какое-угодно число, а вот наоборот - увы, никак нельзя.

А что получится, если ноль разделить на самого себя? Это можно записать в таком виде: 0: 0 = х, или х * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное число решений. Поэтому в итоге получается бесконечность. Поэтому операция и в этом случае тоже не имеет смысла.

Деление на 0 лежит в корне многих мнимых математических шуток, которыми при желании можно озадачить любого несведущего человека. К примеру, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Вынесем за скобки в левой части 4, а в правой 7. Получим: 4*(х - 5) = 7*(х - 5). Теперь умножим левую и правую часть уравнения на дробь 1 / (х - 5). Уравнение примет такой вид: 4*(х - 5)/(х - 5) = 7*(х - 5)/ (х - 5). Сократим дроби на (х - 5) и у нас выйдет, что 4 = 7. Из этого можно сделать вывод, что 2*2 = 7! Конечно, подвох здесь в том, что равен 5 и сокращать дроби было нельзя, поскольку это приводило к делению на ноль. Поэтому при сокращении дробей нужно всегда проверять чтобы ноль случайно не оказался в знаменателе, иначе результат получится совсем непредсказуемым.

На самом деле история с делением на ноль не давала покоя его изобретателям (а ). Но индийцы — философы привыкшие к абстрактным задачам. Что значит разделить на ничто? Для европейцев того времени такого вопроса вообще не существовало, так как ни о нуле ни об отрицательных числах (которые левее нуля на шкале) они знать не знали.

В Индии отнять от меньшего большее и получить отрицательное число не составляло проблем. Ведь что значит 3-5=-2 в обычной жизни? Это значит, что кто-то остался должен кому-то 2. Отрицательные числа назывались долгами.

Теперь давайте так же просто разберемся с вопросом деления на нуль. В далеком 598 году нашей эры (только вдумайтесь как давно, более 1400 лет назад!) в Индии родился математик Брахмагупта, который тоже задавался вопросом деления на ноль.

Он предположил, что если взять лимон и начать делить его на части, рано или поздно мы придем к тому, что дольки будут очень маленькими. В воображении мы можем дойти до того, что дольки станут равны нулю. Итак, вопрос, если разделить лимон не на 2, 4 или 10 частей, а на стремящееся к бесконечности количество частей — какого размера получаться дольки?

Получится бесконечное число "нулевых долек". Все довольно просто, нарежем лимон очень мелко, получим лужицу с бесконечным количеством частей.

Но если взяться за математику, то получается как-то нелогично

а*0=0? А если b*0=0? Значит: а*0=b*0. А отсюда: а=b. То есть любое число равно любому числу. Первая неправильность деления на ноль, идем дальше. В математике, деление считается обратным действием умножения.

Это значит, что если мы делим 4 на 2, мы должны найти число, которое при умножении на 2 даст 4 . Делим 4 на ноль — нужно найти число, которое при умножении на ноль даст 4. То есть х*0=4? Но х*0=0! Опять незадача. Получается мы спрашиваем: "Сколько нолей нужно взять, чтобы получилось 4?" Бесконечность? Бесконечное количество нолей все равно даст в сумме ноль.

А деление 0 на 0 вообще дает неопределенность, ведь 0*х=0, где х вообще все что угодно. То есть — бесчисленное множество решений.

Нелогичность и абстрактность операций с нулем не позволяется в узких рамках алгебры, точнее это неопределенная операция. Для нее нужен аппарат посерьезнее — высшая математика. Так что в некотором роде делить на ноль нельзя, но если очень захочется, то делить на ноль можно, но нужно быть готовым понимать такие вещи как дельта-функция Дирака и прочие трудно осознаваемые вещи. Делите на здоровье.

«Делить на ноль нельзя!» - большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами. Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Всё дело в том, что четыре действия арифметики - сложение, вычитание, умножение и деление - на самом деле неравноправны. Математики признают полноценными только два из них - сложение и умножение. Эти операции и их свойства включаются в само определение понятия числа. Все остальные действия строятся тем или иным образом из этих двух.

Рассмотрим, например, вычитание. Что значит 5 – 3 ? Школьник ответит на это просто: надо взять пять предметов, отнять (убрать) три из них и посмотреть, сколько останется. Но вот математики смотрят на эту задачу совсем по-другому. Нет никакого вычитания, есть только сложение. Поэтому запись 5 – 3 означает такое число, которое при сложении с числом 3 даст число 5 . То есть 5 – 3 - это просто сокращенная запись уравнения: x + 3 = 5 . В этом уравнении нет никакого вычитания. Есть только задача - найти подходящее число.

Точно так же обстоит дело с умножением и делением. Запись 8: 4 можно понимать как результат разделения восьми предметов по четырем равным кучкам. Но в действительности это просто сокращенная форма записи уравнения 4 · x = 8 .

Вот тут-то и становится ясно, почему нельзя (а точнее невозможно) делить на ноль. Запись 5: 0 - это сокращение от 0 · x = 5 . То есть это задание найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5 . Но мы знаем, что при умножении на 0 всегда получается 0 . Это неотъемлемое свойство нуля, строго говоря, часть его определения.

Такого числа, которое при умножении на 0 даст что-то кроме нуля, просто не существует. То есть наша задача не имеет решения. (Да, такое бывает, не у всякой задачи есть решение.) А значит, записи 5: 0 не соответствует никакого конкретного числа, и она просто ничего не обозначает и потому не имеет смысла. Бессмысленность этой записи кратко выражают, говоря, что на ноль делить нельзя.

Самые внимательные читатели в этом месте непременно спросят: а можно ли ноль делить на ноль? В самом деле, ведь уравнение 0 · x = 0 благополучно решается. Например, можно взять x = 0 , и тогда получаем 0 · 0 = 0 . Выходит, 0: 0=0 ? Но не будем спешить. Попробуем взять x = 1 . Получим 0 · 1 = 0 . Правильно? Значит, 0: 0 = 1 ? Но ведь так можно взять любое число и получить 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 и т. д.

Но если подходит любое число, то у нас нет никаких оснований остановить свой выбор на каком-то одном из них. То есть мы не можем сказать, какому числу соответствует запись 0: 0 . А раз так, то мы вынуждены признать, что эта запись тоже не имеет смысла. Выходит, что на ноль нельзя делить даже ноль. (В математическом анализе бывают случаи, когда благодаря дополнительным условиям задачи можно отдать предпочтение одному из возможных вариантов решения уравнения 0 · x = 0 ; в таких случаях математики говорят о «раскрытии неопределенности», но в арифметике таких случаев не встречается.)

Вот такая особенность есть у операции деления. А точнее - у операции умножения и связанного с ней числа ноль.

Ну, а самые дотошные, дочитав до этого места, могут спросить: почему так получается, что делить на ноль нельзя, а вычитать ноль можно? В некотором смысле, именно с этого вопроса и начинается настоящая математика. Ответить на него можно только познакомившись с формальными математическими определениями числовых множеств и операций над ними. Это не так уж сложно, но почему-то не изучается в школе. Зато на лекциях по математике в университете вас в первую очередь будут учить именно этому.

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000: 0 =...

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0: 0 = ...

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

Посмотрим на последовательность частных:

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.


Статья написана в продолжение тренда:

Disclaimer

Цель данной статьи - объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии - желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

Выход «за рамки» - это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!

1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .


Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом - основным инструментом математического анализа . Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.


Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева - крутой спуск, справа - крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности . Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.


Математическим языком:
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

Подытожим:

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.

1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.


Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком "/".


Доопределим операции.


Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.


Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.


Математическим языком:
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем . А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.


Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .


На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено", но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!".
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах Добавить метки

почему нельзя делить на ноль

У математиков специфический юмор и некоторые вопросы, связанные с вычислениями, уже давно не воспринимаются серьезно. Не всегда понятно, пытаются тебе на полном серьезе объяснить, почему нельзя делить на ноль или это очередная шутка. А ведь сам вопрос не такой уж очевидный, если в элементарной математике до его решения можно дойти чисто логически, то вот в высшей вполне могут быть другие исходные условия.

Когда появился ноль?

Цифра ноль таит в себе множество загадок:

  • В Древнем Риме этого числа не знали, система отсчета начиналась с I.
  • За право называться прародителями ноля долгое время спорили арабы и индийцы.
  • Исследования культуры Майя показали, что эта древняя цивилизация вполне могла быть первой, в плане употребления ноля.
  • Ноль не обладает никаким числовым значением, даже минимальным.
  • Он буквально означает ничто, отсутствие предметов для счета.

В первобытном строе не было особой нужды для такой цифры, отсутствие чего-либо можно было объяснить при помощи слов. Но с зарождением цивилизаций повысились и потребности человека, в плане архитектуры и инженерии.

Для осуществления более сложных расчетов и выведения новых функций понадобилось число, которое обозначало бы полное отсутствие чего-либо .

Можно ли делить на ноль?

На этот счет существуют два диаметрально противоположных мнения :

В школе, еще в младших классах учат тому, что на ноль делить нельзя ни в коем случае. Объясняется это предельно просто:

  1. Представим, что у вас есть 20 долек мандарина.
  2. Поделив их на 5, вы раздадите пятерым друзьям по 4 дольки.
  3. Разделить на ноль не получится, ведь самого процесса деления между кем-то не будет.

Конечно же, это образное объяснение, во многом упрощенное и не совсем соответствующее действительности. Но оно предельно доступно поясняет бессмысленность деления чего-либо на ноль.

Ведь, по сути, таким образом можно обозначать факт отсутствия деления. А зачем усложнять математические вычисления и записывать еще и отсутствие деления?

Можно ли ноль делить на число?

С точки зрения прикладной математики, любое деление, в котором принимает участие ноль, имеет не так уж много смысла. Но школьные учебники однозначны в своем мнении:

  • Ноль можно делить.
  • Для деления следует использовать любое число.
  • Нельзя делить ноль на ноль.

Третий пункт может вызвать легкое недоумение, ведь всего несколькими абзацами выше указывалось, что такое деление вполне возможно. На самом деле, все зависит от дисциплины, в рамках которой вы проводите вычисления.

Школьникам в таком случае действительно лучше писать, что выражение невозможно определить , а, следовательно, оно и не имеет смысла. Но в некоторых ответвлениях алгебраической науки допускается запись такого выражения, с делением ноля на ноль. Особенно когда речь идет о вычислительных машинах и языках программирования.

Потребность делить ноль на число может возникнуть во время решения каких-либо равенств и поиска исходных значений. Но в таком случае, в ответе всегда будет ноль . Здесь, как и с умножением, на какое число вы бы не делили ноль, больше ноля в итоге не получите. Поэтому если в огромной формуле заметили это заветное число, постарайтесь быстро «прикинуть», а не сведутся ли все вычисления к очень простому решению.

Если бесконечность делить на ноль

О бесконечно больших и бесконечно малых значениях необходимо было упомянуть чуть раньше, ведь это тоже открывает некоторые лазейки для деления, в том числе и с использованием ноля. Вот правда и тут есть небольшая загвоздка, ведь бесконечно малое значение и полное отсутствие значения - понятия разные .

Но этой небольшой разницей в наших условиях можно пренебречь, в конечном счете, вычисления проходят с использованием абстрактных величин:

  • В числители должен быть знак бесконечности.
  • В знаменатели символическое изображение стремящегося к нулю значения.
  • В ответе выйдет бесконечность, отображающая бесконечно большую функцию.

Следует обратить внимание на то, что речь все же идет о символическом отображении бесконечно малой функции, а не об использовании ноля. С этим знаком ничего не поменялось, на него все так же нельзя делить, только в качестве очень и очень редких исключений.

В большинстве своем ноль используется для решения задач, которые находятся в чисто теоретической плоскости . Возможно, по прошествии десятилетий или даже столетий, всем современным вычислениям найдется практическое применение, и они обеспечат какой-то грандиозный прорыв в науке.

А пока что большинство гениев от математики о всемирном признании лишь мечтают. Исключение из этих правил - наш соотечественник, Перельман . Но его знают благодаря решению действительно эпохальной задачи с доказательством гипотезы Пуанкере и экстравагантному поведению.

Парадоксы и бессмысленность деления на ноль

Деление на ноль, в большинстве своем, не имеет никакого смысла:

  • Деление представляют как функцию, обратную умножению .
  • Мы можем умножить на ноль любое число и получить в ответе ноль.
  • По той же логике, можно было бы делить любое число на ноль.
  • В таких условиях несложно было бы прийти к выводу, что любое число, умноженное или деленное на ноль, равно любому другому числу, над которым провели эту операцию.
  • Откидываем математическое действие и получаем интереснейшее заключение - любое число равно любому числу.

Помимо создания таких вот казусов, деление на ноль не имеет практического значения , от слова вообще. Даже при возможности выполнения этого действия, не выйдет получить никакой новой информации.

С точки зрения элементарной математики, во время деления на ноль происходит разделение целого предмета ноль раз, то есть ни одного раза. Проще говоря - процесса деления не происходит , следовательно, и результата этого события быть не может.

Находясь в одном обществе с математиком, всегда можно задать пару банальных вопросов, по примеру, почему нельзя делить на ноль и получить интересный и доступный для понимания ответ. Или раздраженность, ведь у человека наверняка это спрашивают не в первый раз. И даже не в десятый. Так что берегите своих друзей-математиков, не заставляйте их повторять по сотне раз одно объяснение.

Видео: делим на ноль

В этом видео математик Анна Ломакова расскажет, что произойдет, если поделить какое-либо число на ноль и почему этого делать нельзя, с точки зрения математики:

Каких только вопросов не задают наши детки!.. А вот вопрос «Почему на ноль делить нельзя?» не задают. Почему? Потому что еще в школе учительница сказала, что НЕЛЬЗЯ. Нельзя, значит, нельзя! Много позже, уже в институтах, мы узнали, что делить оказывается все-таки можно, и получится в результате — бесконечность. Но, признайтесь, наш ум принял этот факт как некое допущение, условность, мы ведь с детства помним — нельзя. А, собственно, почему все-таки?

Для начала давайте разберемся, откуда появляется бесконечность, к понятию которой на первых курсах университета мы отнеслись с некоторой долей недоверия. Все удивительно просто: если какое-нибудь число делить на все меньшее и меньшее, то будет получаться все большее и большее значение. Чем меньше будет делитель, тем больше станет частное. Так появляется бесконечность.

Но физики и математики не любят бесконечности, потому условно принято, что на ноль делить нельзя. Получается, что допущением является невозможность делить на ноль.

Обратимся к азам математики. В арифметике существует четыре действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Но равноправия у них нет. Математики считают основными действиями только два из них: сложение и умножение, остальные — обратные действия, следствия основных.

Рассмотрим понятие «вычитание». Для решения примера «5 — 3 = …» надо из пяти предметов убрать три, оставшееся при этом количество и будет ответом на наш пример. Но, учитывая, что основным действием считается сложение, давайте несколько изменим наш пример, записав его в виде сложения: «х + 3 = 5». То есть к какому числу надо прибавить три, чтобы получилось пять?

Так же дела обстоят с делением. Выражение «8: 4 = …» вытекает из выражения «4 x = 8». Сколько раз по четыре надо взять, чтобы получилось восемь?

И вот он, ответ! Если 5: 0 — это вариант записи 0 x = 5, то получается, надо найти такое число, которое при умножении на 0 даст 5. Сколько раз по нулю надо взять, чтобы получилось что-то большее, чем ничего?! Но при умножении на 0 всегда получается 0, этот факт лежит в самом определении нуля! Числа, которое при умножении на 0 дает что-то отличное от ноля, не существует. Получается, задача не имеет решения, а выражение 5: 0 не имеет смысла. Чтобы уменьшить количество бессмысленных задач, было принято, что на ноль делить нельзя.

Самые дотошные читатели непременно спросят: а как же с делением нуля на ноль?

Давайте разберемся. Получается, уравнение 0 x = 0 имеет решение? Или бесконечное число решений? «Х» может быть равен и единице, и двум, и миллиону. Так, при х=0, получается 0 0 = 0, тогда 0: 0=0? А при х=1, 0 1 =0, значит, 0: 0 = 1?! Или 0: 0 = 1000000?!

Выходит, мы не можем найти решения выражения «0: 0», значит, и у этого выражения нет решения. Получается, ноль на ноль тоже делить нельзя.

Вот к таким интересным умозаключениям можно прийти, задумавшись над известным с начальных классов фактом: на ноль делить нельзя.

Заинтересовало? Дочитали до конца? Значит, именно из-за таких как вы и появился следующий жизненный анекдот.

— Почему нельзя делить на ноль? Умножать же можно, причем тоже ноль получается.

— Почему нельзя? Можно, только результат такого деления — бесконечность

— А почему не ноль?

— Ну вот, смотри: 2*0 — это два взять ноль раз, будет ноль. А 2/0 — это «сколько раз ноль умещается в двойке», бесконечность.

— Если 2/0=х, то значит 2=х*0, то есть 2=0. А если 2=0, значит 2/0=0!

— Ну вот, чтобы такой ерундой не заниматься, математики и приняли негласное соглашение: на ноль делить нельзя!

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Скачать:


Предварительный просмотр:

Учебник: «Математика» 3 класс М.И. Моро

Цели урока:

Задачи урока:

Для достижения цели урок был разработан с учётом деятельностного подхода.

Структура урока включала в себя:

  1. Орг. момент , целью которого было позитивно настроить детей на учебную деятельность.
  2. Мотивация позволила актуализировать знания, сформировать цели и задачи урока. Для этого были предложены задания на нахождение лишнего числа, классификацию примеров на группы, добавление недостающих чисел . В ходе решения этих заданий, дети столкнулись с проблемой : нашёлся пример, для решения которого не хватает имеющихся знаний. В связи с этим дети самостоятельно сформулировали цель и поставили перед собой учебные задачи урока.
  3. Поиск и открытие нового знания дал возможность детям предложить различные варианты решения задания. Основываясь на ранее изученный материал, они смогли найти верное решение и прийти к выводу , в котором сформулировали новое правило.
  4. Во время первичного закрепления ученики комментировали свои действия, работая по правилу , дополнительно были подобраны свои примеры на это правило.
  5. Для автоматизации действий и умения пользоваться правилам в нестандартных заданиях дети решали уравнения, выражения в несколько действий.
  6. Самостоятельная работа и проведенная взаимопроверка показали, что большинство детей тему усвоили.
  7. Во время рефлексии дети сделали вывод, что поставленная цель урока достигнута и оценили себя с помощью карточек.

В основе урока лежали самостоятельные действия учащихся на каждом этапе, полное погружение в учебную задачу. Этому способствовали такие приёмы, как работа в группах, само- и взаимопроверка, создание ситуации успеха, дифференцированные задания, саморефлексия.

Урок математики в 3 классе.

Тема урока: «Деление 0 на число. Невозможность деления на 0»

Цели урока: создать условия для формирования умения делить 0 на число.

Задачи урока:

  • раскрыть смысл деления 0 на число через связь умножения и деления;
  • развивать самостоятельность, внимание, мышление;
  • формировать навыки решения примеров на табличное умножение и деление.

Ход урока.

  1. Организационный этап.

Проверьте свою готовность к уроку, сядьте прямо.
Потрите свои ушки, чтобы кровь активнее поступала в мозг. Сегодня у вас будет много интересной работы, с которой, я уверена, вы справитесь на отлично.

  1. (слайд 1; 2; 3)

Веселый прозвенел звонок,

Мы начинаем наш урок.

Все ли правильно сидят,

Все внимательно глядят?

Каждый хочет получать

Только лишь оценку пять!

Откройте свои тетради, запишите сегодняшнее число. (слайд 4) Что вы можете сказать о числе 20? (Оно двузначное; оно чётное; состоит из разряда десятков и разряда единиц).

Сколько десятков и сколько единиц в нём? (2 десятка и 0 единиц.).

  1. Устный счёт.
  1. Игра «Найди лишнее число» (слайд 5)

Из каждого столбика выберите «лишнее число»

2. Найдите площади фигур: (слайд 6)

3. Арифметический диктант:

  1. Какое число надо умножить на 7, чтобы получить 42?
  2. Назовите число, которое меньше 24 на 6?
  3. Из какого числа надо вычесть 18, чтобы получить 3?
  4. Во сколько раз 4 десятка больше 5?
  5. Найдите произведение 9 и 3.
  6. Делимое 36, частное 6. Чему равен делитель?
  7. Увеличьте 8 в 6 раз.
  8. На какое число надо разделить 28, чтобы получить 7?

Запишите только ответы.

(Взаимопроверка: 6, 18, 21, 8, 27, 6, 48, 4.) – (слайд 7)

4.Индивидуальная работа (работа по карточкам, см. приложения)

5. Создание проблемной ситуации
Задания в парах:
- расставьте примеры в 2 группы:

Почему так распределили? (с ответом 4 и 5)

Решите примеры:
8·7-6+30:6=
28:(16:4)·6=
30-(20-10:2):5=
30-(20-10·2):5=

Что вы заметили? Есть ли здесь лишние примеры?
- Все ли примеры вы смогли решить?
- У кого возникли затруднения?
- Чем этот пример отличается от остальных?
- Если кто-то решил, то молодец. Но почему не все смогли справиться с этим примером?

6.Постановка учебной задачи.
Здесь есть пример с 0. А от 0 можно ожидать разные фокусы. Это необычное число.
Вспомните, что вы знаете про 0? (а·0=0, 0·а=0, 0+а=а)·
Приведите примеры.
Посмотрите, какой он коварный: когда его прибавляют, он не изменяет число, а когда умножают, превращают его в 0.
Подходят ли эти правила к нашему примеру?(нет)
Как же он поведёт себя при делении?

  1. Сообщение темы и целей урока (слайд 8)

- Итак, какова наша цель? Решить этот пример верно.

цель

Таблица на доске.

Что для этого надо? Узнать правило деления 0 на число.

задача

Тема нашего урока: «Деление нуля на число, невозможность деления на нуль».

Мы рассмотрим приёмы деления нуля на число, закрепим знания таблицы умножения, умение решать составные задачи.

  1. Усвоение новых знаний и способов действий.
  1. На экране: 0:6 (слайд 9)

Подберите такое число, при умножении которого на 6 получился бы 0? (Это 0).

Значит, 0:6=0

Аналогично рассматривается случай деления 0:9.

Вывод: При делении нуля на любое другое число, получается нуль.

ПОМНИ, делить на нуль нельзя!

Почему нельзя делить на нуль? Обоснуйте свой ответ.

(При делении на 0, например, числа 6 или другого числа, кроме нуля нельзя найти такое число, умножив которое на нуль, получилось бы 6 или другое число).

2.Послушайте сказку о нуле. (слайды 10-16)

Далеко-далеко, за морями и горами, была страна Цифрия. Жили в ней очень честные числа. Только Нуль отличался ленью и нечестностью.

Однажды все узнали, что далеко за пустыней появилась королева Арифметика, зовущая к себе на службу жителей Цифрии. Служить королеве захотели все. Между Цифрией и королевством Арифметики пролегла пустыня, которую пересекли четыре реки: Сложение, Вычитание, Умножение и Деление. Как добраться до Арифметики? Числа решили обьедениться (ведь с товарищами легче преодолевать трудности) и попробовать перейти пустыню.

Рано утром, как только солнце коснулось земли своими лучами, двинулись числа в путь. Долго шли они под палящим солнцем и, наконец, добрались до реки Сложение. Числа бросились к реке, чтобы напиться, но река сказала: «Станьте по парам и сложитесь, тогда дам вам напиться». Всё исполнили приказание реки, исполнил желание и лентяй Нуль. Но число, с которым он сложился, осталось недовольно: ведь воды река давала столько, сколько единиц было в сумме, а сумма не отличалась от числа.

Солнце еще больше печет. Дошли до реки Вычитание. Она тоже потребовала за воду плату: стать парами и вычесть меньшее число из большего, у кого ответ получится меньше, тот получит больше воды. И снова число. Стоящее в паре с Нулём оказалось в проигрыше и было расстроено.

А у реки Деление никто из чисел не захотел становиться в пару с Нулём. С тех пор ни одно число не делится на нуль.

Правда, королева Арифметика примирила все числа с этим лентяем: она стала просто приписывать нуль рядом с числом, которое от этого увеличивалось в десять раз. И стали числа жить-поживать, да добра наживать.

Сегодня мы с вами открыли ещё один фокус «нуля». Что это за «фокус»? О нём надо помнить, чтобы не допускать ошибок в вычислениях.

  1. Первичная проверка понимания изученного. Работа по учебнику.

1.Прочитайте правило в учебнике и сравните с вашим.

А давайте попробуем любое число разделить на 0.
Например, 5:0. Сколько получится?
Нельзя подобрать такое число, при умножении которого на 0 получится 5.
Вывод: НА 0 ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ.

В каких ещё заданиях может понадобиться знание этого правила? (в решении примеров, уравнений)

  1. Выполнения №1 стр. 75 с комментированием «цепочкой».

Физкультминутка и зарядка для глаз (слайд 17-18)

Утром стрекоза проснулась,

Потянулась, улыбнулась.

Раз - росой она умылась,

Два - изящно покружилась

Три - нагнулась и присела,

На четыре – полетела.

У реки остановилась,

Над водою закружилась.

  1. Работа над пройденным материалом.

1)Выполнение №2 (устно)

2) Нахождение значений выражений №6 (1) стр. 85

3) Решение задачи №5 стр.85 (слайд 19)

Как вы думаете, часто ли в задачах используется число 0?
(Нет, не часто, т.к. 0 – это ничего, а в задачах должно какое-то количество чего-либо.)
Тогда будем решать задачи, где есть другие числа.
Составление таблицы на интерактивной доске.

Прочитайте условие задачи и подумайте, как удобнее выполнить краткую запись. (В таблице).

Какие графы должны быть в таблице?

Что такое 8кг? (Масса 1 ящика со сливами)

Что ещё известно в задаче? (Масса 1 ящика с грушами. Масса всех ящиков со сливами.)

Что сказано о количестве ящиков с грушами? (Их столько же). Или количество одинаковое.

Составьте программу решения и запишите решение самостоятельно.

Б) Проверка решения.

1) 48:8=6(ящ.)

2) 9∙6=54(кг)

Ответ:54 кг груш привезли на рынок.

4)Решение уравнений с устным объяснением.

№8 стр. 85

5)Найди закономерность (задание на слайде) (слайд 20)

6 )Самостоятельная работа. (слайд 21)

(Проверочная работа.с.42,43.)

  1. Итог урока
  • Что нового мы узнали на уроке?
  • Что получится при делении нуля на любое число?
  • Какое важное правило должны запомнить?
  1. Информация о домашнем задании (слайд 22)

№4, №6(2) стр. 85.

Рефлексия (см. приложение; слайды 23-24)

Над какой темой сегодня работали? О чём вы не знали в начале урока?
-Какую цель ставили перед собой?
-Достигли вы её? С каким правилом познакомились?
- Ребята! Вам понравился урок?

Посмотрите на "пушистиков". У них разные настроения. Раскрасьте "пушистика", у которого такое же настроение, как у вас. Покажите своих «пушистиков».(я доволен собой, у меня всё получилось; всё хорошо, но я мог работать лучше; урок обычный, ничего интересного; ничего не получилось) Молодцы! Спасибо за урок! До новых встреч!

Говорят, можно поделить на ноль если определить результат деления на ноль. Просто нужно расширить алгебру. По странному стечению обстоятельств найти хоть какой-то, а лучше понятный и простой, пример такого расширения не удается. Чтобы исправить интернет нужна либо демонстрация одного из способов такого расширения, либо описание почему это не возможно.


Статья написана в продолжение тренда:

Disclaimer

Цель данной статьи - объяснить «человеческим языком», как работают фундаментальные основы математики, структурировать знания и восстановить упущенные причинно-следственные связи между разделами математики. Все рассуждения являются философскими, в части суждений расходятся с общепринятыми (следовательно, не претендует на математическую строгость). Статья рассчитана на уровень читателя «сдал вышку много лет назад».

Понимание принципов арифметики, элементарной, общей и линейной алгебры, математического и нестандартного анализа, теории множеств, общей топологии, проективной и аффинной геометрии - желательно, но не обязательно.

В ходе экспериментов ни одна бесконечность не пострадала.

Пролог

Выход «за рамки» - это естественный процесс поиска новых знаний. Но не всякий поиск приносит новое знание и следовательно пользу.

1. Вобще-то уже все поделили до нас!

1.1 Аффинное расширение числовой прямой

Начнем с того, с чего начинают, наверное, все искатели приключений при делении на ноль. Вспомним график функции .


Слева и справа от нуля функция уходит в разные стороны «небытия». В самом нуле вообще “омут” и ничего не видно.

Вместо того, чтобы бросаться в «омут» с головой, посмотрим что туда втекает и что оттуда вытекает. Для этого воспользуемся пределом - основным инструментом математического анализа . Основная “фишка” в том, что предел позволяет идти к заданной точке так близко, как это возможно, но не “наступить на нее”. Такая себе “оградка” перед “омутом”.


Оригинал

Хорошо, «оградку» поставили. Уже не так страшно. У нас есть два пути к «омуту». Зайдем слева - крутой спуск, справа - крутой подъем. Сколько к “оградке” не иди, ближе она не становится. Пересечь нижнее и верхнее «небытие» никак не выходит. Возникают подозрения, может мы идем по кругу? Хотя нет, числа-то меняются, значит не по кругу. Пороемся в сундучке с инструментами математического анализа еще. Кроме пределов с «оградкой» в комплекте идет положительная и отрицательная бесконечности . Величины совершенно абстрактные (не являются числами), хорошо формализованы и готовы к употреблению! Это нам подходит. Дополним наше «бытие» (множество вещественных чисел) двумя бесконечностями со знаком.


Математическим языком:
Именно это расширение позволяет брать предел при аргументе стремящемся к бесконечности и получить бесконечность в качестве результата взятия предела.

Есть два раздела математики которые описывают одно и тоже используя разную терминологию.

Подытожим:

В сухом остатке. Старые подходы перестали работать. Сложность системы, в виде кучи “если”, “для всех, кроме” и т.п., возросла. У нас было только две неопределенности 1/0 и 0/0 (мы не рассматривали степенные операции), стало пять. Раскрытие одной неопределенности породило еще больше неопределенностей.

1.2 Колесо

На введении беззнаковой бесконечности все не остановилось. Для того чтобы выбраться из неопределенностей нужно второе дыхание.

Итак, у нас есть множество вещественных чисел и две неопределенности 1/0 и 0/0. Для устранения первой мы выполнили проективное расширение числовой прямой (то есть ввели беззнаковую бесконечность). Попробуем разобраться со второй неопределенностью вида 0/0. Сделаем аналогично. Дополним множество чисел новым элементом, представляющим вторую неопределенность.


Определение операции деления основано на умножении. Это нам не подходит. Отвяжем операции друг от друга, но сохраним привычное поведение для вещественных чисел. Определим унарную операцию деления, обозначаемую знаком "/".


Доопределим операции.


Данная структура называется «Колесом» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0.


Вроде все неплохо выглядит, но дьявол кроется в деталях:

Чтобы устаканить все особенности, дополнительно к расширению множества элементов прилагается бонус в виде не одного, а двух тождеств, описывающих дистрибутивный закон.


Математическим языком:
С точки зрения общей алгебры мы оперировали полем . А в поле, как известно, определены всего две операции (сложение и умножение). Понятие деления выводится через обратные, а если еще глубже, то единичные элементы. Внесенные изменения превращают нашу алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента).

В трудах первооткрывателей не всегда используются символы ∞ и ⊥. Вместо этого можно встретить запись в виде /0 и 0/0.


Мир уже не так прекрасен, не правда ли? Все же не стоит спешить. Проверим, справятся ли новые тождества дистрибутивного закона с нашим расширенным множеством .


На этот раз результат намного лучше.

Подытожим:

В сухом остатке. Алгебра работает отлично. Однако за основу было взято понятие «не определено» которое стали считать чем-то существующим и оперировать им. Однажды кто-нибудь скажет, что все плохо и нужно разбить данное «не определено» еще на несколько “не определено", но помельче. Общая алгебра скажет: “Без проблем, Бро!".
Примерно так постулированы дополнительные (j и k) мнимые единицы в кватернионах Добавить метки

Евгений Ширяев, преподаватель и руководитель Лаборатории математики Политехнического музея , рассказал АиФ.ru о делении на ноль:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, особенную провокационность правилу придает запрет. Как это нельзя? Кто запретил? А как же наши гражданские права?

Ни конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже устав вашей школы не возражают против интересующего нас интеллектуального действия. А значит, запрет не имеет юридической силы, и ничто не мешает прямо тут, на страницах АиФ.ru, попробовать что-нибудь разделить на ноль. Например, тысячу.

2. Разделим, как учили

Вспомните, когда вы только узнали, как делить, первые примеры решали спроверкой умножением: результат, умноженный на делитель должен был совпасть сделимым. Не совпал — не решили.

Пример 1. 1000: 0 =...

Забудем на минуту про запретное правило и сделаем несколько попыток угадать ответ.

Неправильные отсечёт проверка. Перебирайте варианты: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст один и тот же результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Ноль умножением все превращает в себя и никогда в тысячу. Вывод сформулировать несложно: никакое число не пройдет проверку. Т. е. ни одно число не может быть результатом деления ненулевого числа на ноль. Такое деление не запрещено, а просто не имеет результата.

3. Нюанс

Чуть не упустили одну возможность опровергнуть запрет. Да, мы признаем, что ненулевое число не разделится на 0. Но может быть, сам 0 сможет?

Пример 2. 0: 0 = ...

Ваши предложения для частного? 100? Пожалуйста: частное 100, умноженное на делитель 0, равно делимому 0.

Еще варианты! 1? Тоже подходит. И −23, и 17, и все-все-все. В этом примере проверка на результат будет положительной для любого числа. И по-честному, решением в этом примере надо называть не число, а множество чисел. Всех. А так недолго договориться и до того, что Алиса это не Алиса, а Мэри-Энн, а обе они — сон кролика.

4. Что там про высшую математику?

Проблема разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все прояснилось — ответом для примера с делением на ноль не может быть ни одно число. Такие задачки решать — дело безнадежное и невозможное. А значит... интересное! Дубль два.

Пример 3. Придумать, как разделить 1000 на 0.

А никак. Зато 1000 можно без трудностей делить на другие числа. Ну, давайте хотя бы делать, что получается, пусть даже изменив поставленную задачу. А там, глядишь, увлечемся, и ответ сам собой объявится. Забываем на минуту про ноль и делим на сто:

Сотня далека от нуля. Сделаем шаг к нему, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидная динамика: чем ближе делитель к нулю, тем больше частное. Тенденцию можно наблюдать и дальше, переходя к дробям и продолжая уменьшать числитель:

Осталось заметить, что к нулю мы можем подойти как угодно близко, делая частное сколь угодно большим.

В этом процессе нет нуля и нет последнего частного. Мы обозначили движение к ним, заменив число на последовательность, сходящуюся к интересующему нас числу:

При этом подразумевается аналогичная замена и для делимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрелки не зря поставлены двусторонними: некоторые последовательности могут сходиться к числам. Тогда мы можем поставить в соответствие последовательности ее числовой предел.

Посмотрим на последовательность частных:

Она растет неограниченно, не стремясь ни к какому числу и превосходя любое. Математики добавляют к числам символ ∞, чтобы иметь возможность рядом с такой последовательностью поставить двустороннюю стрелку:

Сопоставление числам последовательностей, имеющих предел, позволяет предложить решение к третьему примеру:

При поэлементном делении последовательности, сходящейся к 1000, на последовательность из положительных чисел, сходящуюся к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. И здесь нюанс с двумя нулями

Что будет результатом деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то тождественная единица. Если к нулю быстрее сходится последовательность-делимое, то в частном последовательность снулевым пределом. А когда элементы делителя убывают гораздо быстрее, чем у делимого, последовательность частного будет сильно расти:

Неопределенная ситуация. И так и называется: неопределенность вида 0/0 . Когда математики видят последовательности, подходящие под такую неопределенность, они не бросаются делить два одинаковых числа друг на друга, а разбираются, какая из последовательностей быстрее бежит к нулю и как именно. И в каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

Закон Ома связывает силу тока, напряжение и сопротивление в цепи. Часто его записывают в такой форме:

Позволим себе пренебречь аккуратным физическим пониманием и формально посмотрим на правую часть как на частное двух чисел. Вообразим, что решаем школьную задачу по электричеству. В условии дано напряжение в вольтах и сопротивление в омах. Вопрос очевиден, решение в одно действие.

А теперь заглянем в определение сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов обладать нулевым электрическим сопротивлением.

Ну что, решим задачку для сверхпроводящей цепи? Просто так подставить R = 0 не выйдет, физика подкидывает интересную задачу, за которой, очевидно, стоит научное открытие. И люди, сумевшие поделить на ноль в этой ситуации, получили Нобелевскую премию. Любые запреты полезно уметь обходить!

Как же найти верное решение?
С каким действием связано умножение? (с делением)
Приведите пример
2 · 3 = 6
6: 2 = 3

Можем ли мы теперь 0:5?
Это значит, надо найти число, при умножении которого на 5 получится 0.
х·5=0
Это число 0. Значит, 0:5=0.

Приведите свои примеры.

действий с нулем. Правило умножения любого числа на ноль любого числа при умножении 0 равно

Еще в школьной учительнице мы все старались следовать простейшему правилу в голове: "Каждое число, умноженное на ноль, равно нулю!" - Но вокруг постоянно возникают споры. Кому-то просто напомнили о правиле и в голову не придет «почему?». "Это невозможно, и это потому, что школа была такова, что правило есть правило!" Кто-то может ударить формулами формулы, доказывающей этот принцип или, наоборот, его неправомерность.

Контакт

Кто закон

Во время этих споров оба человека, имеющие противоположные точки зрения, смотрят друг на друга, как на РАМ, и доказывают свою правоту. Хотя, если посмотреть на них сбоку, то видно, что не видно, кроме двух баранов, покоящихся внутри с рогами. Единственная разница между ними заключается в том, что один немного менее сформирован, чем другой.

Чаще всего те, кто считает это правило неверным, пытаются назвать логику здесь так:

У меня на столе два яблока, если я положу к ним ноль яблок, то есть не положу ни одного, то мои два яблока от этого не исчезнут! Правило нелогичное!

Действительно, яблоки никуда не вянут, но не из-за того, что правило нелогично, а потому, что здесь используется немного другое уравнение: 2+0=2.Так что вывод сразу подкинет - нелогичен, Хотя и имеет противоположную цель - вызвать логику.

Что такое умножение

Изначально правило умножения было установлено только для натуральных чисел: умножение - это число, сложенное вместе определенное количество раз, что означает натуральность числа. Таким образом, любое число с умножением можно привести к следующему уравнению:

.
  1. 25×3 = 75
  2. 25 + 25 + 25 = 75
  3. 25×3 = 25+25+25

Из этого уравнения заканчивается вывод , это умножение есть упрощенное сложение .

Что такое ноль.

Все с детства не знают: Ноль есть пустота, хотя эта пустота и имеет метку, она вообще ничего не носит. Древние восточные ученые думали иначе - они подходили к вопросу философски и проводили параллели между пустотой и бесконечностью и видели в этом вопросе глубокий смысл. Ведь ноль, имея значение пустоты, вставая рядом с каждым натуральным числом, Умножает его в десять раз. Отсюда и все разногласия по поводу умножения числа на число, несущие в себе столько противоречий, что трудно не ошибиться.Кроме того, для определения пустых расходов в десятичных дробях постоянно используется ноль, это делается до запятой.

Можно умножить на пустоту

Умножить на ноль может быть, но это бесполезно, потому что как бы ни было круто, но даже используя отрицательные числа, все равно будет ноль. Просто запомните это простейшее правило, и я больше никогда не задаюсь этой проблемой. На самом деле все проще, чем кажется на первый взгляд. Здесь нет скрытых смыслов и секретов, как считали древние ученые.Чуть ниже будет самое логичное объяснение, что это умножение бесполезно, потому что при умножении числа все равно получается одно и то же число - ноль.

Возвращаясь к началу, к рассуждению о двух яблоках, 2 умножить на 0 выглядит так:

  • Если съесть два яблока пять раз, то 2×5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 яблок
  • Если съесть их дважды, то 2×3=2+2+2=6 яблок
  • Если съесть два яблока ноль раз, ничего не съедено - 2 × 0 = 0 × 2 = 0 + 0 = 0

Наконец съесть яблоко 0 раз - значит не есть.Это будет понятно даже совсем маленькому ребенку. Ой, не крути - выдастся 0, два-три можно заменить абсолютно любым числом и выйдет абсолютно то же самое. А если бы вы знали, ноль это ничто и когда у вас ничего нет сколько множителей - все равно будет ноль . Волшебства не произойдет, и яблоко из ничего не получится, даже при умножении 0 на миллион. Это самое простое, понятное и логичное объяснение принципа умножения на ноль. У человека, вдали от всех формул и математики, будет достаточно объяснений, чтобы расстроиться, чтобы решить это в своей голове, и оно встанет на свои места.

Подразделение

Из всего вышеперечисленного вытекает еще одно важное правило:

На ноль делить нельзя!

Этому правилу тоже с самого детства упорно следуют. Мы просто знаем, что все невозможно без слишком большого количества информации от вас. Если вдруг задать вопрос, почему нельзя делить на ноль, большинство растеряется и не сможет внятно ответить на самый простой вопрос из школьной программы, ведь вокруг этого правила столько споров и противоречий.

Все просто сбилось, как правило, и на ноль не делится, не подозревая, что ответ лежит на поверхности. Сложение, умножение, деление и вычитание - беспорядок, полны достоверности только из упомянутого умножения и сложения, а все остальные манипуляции с числами строятся. То есть запись 10:2 - это сокращение уравнения 2*х=10. Да, запись 10:0 То же сокращение из 0*х=10. Получается, что деление на ноль - это задача найти число, умножая каждое из 0, получается 10.А мы уже измерили, что такого числа нет, значит, это уравнение не имеет решения, и оно априори будет неверным.

Позвольте мне сказать вам пусть

Чтобы не делить на 0!

Директор 1 Как хотите,

Только нет Дивы на 0!

Евгений Ширяев, преподаватель и заведующий Лабораторией математики Политехнического музея , рассказал aif.ru в нулевом отделе:

1. Юрисдикция вопроса

Согласитесь, спецпровокация правила делает его незаконным.Как это невозможно? КТО ЗАПРЕЩАЛ? А как же наши гражданские права?

Ни Конституция РФ, ни Уголовный кодекс, ни даже Устав государственных школ не против интеллектуальной деятельности в интересах. Так что запрет не имеет юридической силы и здесь на страницах Аиф.ру ничего не смущает, попробуйте разбить на ноль. Например, тысяча.

2. Делим как учили

Помните, когда вы только научились делить, первые примеры решались умножением: результат умножения на делитель должен совпадать с исключением.Не совпали - не рассосались.

Пример 1. 1000: 0 = ...

Забудьте на минуту о запретном правиле и сделайте несколько предположений.

Плохо обрезана проверка. Отпустите варианты: 100, 1, -23, 17, 0, 10 000. Для каждого из них проверка даст одинаковый результат:

100 0 = 1 0 = - 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 \ u003d 0

Переворачивает нулевое умножение, а не тысячное. Вывод легко сформулировать: ни одно число не будет проверяться.Это означает, что никакое число не может быть результатом разложения ненулевого числа до нуля. Это разделение не запрещено, но это просто не имеет значения.

3. НЮАНС.

Я чуть не упустил одну возможность отменить бан. Да, мы признаем, что ненулевое число не разбивается на 0. Но, может быть, 0 может быть 0?

Пример 2. 0:0 = ...

Являются ли ваши предложения конфиденциальными? 100? Пожалуйста: Рядовое 100, умноженное на Делитель 0, равно ДЕЛИМО 0.

Больше возможностей! один? Также подходит. И -23 и 17 и все-все. В этом примере результат сканирования будет положительным для любого числа. Хорошо, решение в этом примере должно называться числом, но много чисел. Все. И так же коротко согласимся, что Алиса не Алиса, а Мэри-Энн, и они обе кроличья мечта.

4. А как насчет высшей математики?

Задача разрешена, нюансы учтены, точки расставлены, все получилось - ответ, например, при делении на ноль не может быть любым числом.Такие задачи решающие - дело безнадежное и невозможное. Очень интересно! Два двойных.

Пример 3. Разобраться, как разделить 1000 на 0.

Но ни в коем случае. Но 1000 можно без труда разбить на другие числа. Ну хоть давайте делать то, что получается, пусть это и меняет набор задач. А там, глядишь, поинтересуемся, и ответ появится сам собой. Забудьте о нулевой минуте и разделите ее на сто:

Сто далеко не ноль.Сделаем шаг туда, уменьшив делитель:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000:8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000,

Динамика очевидна: чем ближе делитель к нулю, тем частнее. Тенденцию можно увидеть дальше, перейдя к дроби и продолжая уменьшать числитель:

Остается заметить, что через ноль мы можем приближаться по мере приближения, делая приват сколь угодно большим.

В этом процессе нет ни нуля, ни последнего привата. Мы пометили их, заменив порядковый номер на интересующее нас количество:

Имеется в виду аналогичный обмен и для нежелательных лиц:

1000 ↔ {1000, 1000, 1000, ...}

Стрелки не зря предусмотрены двусторонними: некоторые последовательности могут сойтись. Затем мы можем остановиться в соответствии с числовой предельной последовательностью.

Давайте посмотрим на приватную последовательность:

Он растет без ограничений, не ищет числа и превосходит любые числа.Математика Добавьте числа к вашему символу ∞ Чтобы поставить двунаправленную стрелку рядом с этой последовательностью:

Сравнение порядковых номеров, имеющих предел, предлагает третий пример решения:

При делении элемента последовательности, сходящейся к 1000, порядковые номера положительны. Сходимость к 0, получим последовательность, сходящуюся к ∞.

5. Вот нюанс с двумя нулями

Какой получится результат деления двух последовательностей положительных чисел, сходящихся к нулю? Если они одинаковые, то и блок идентичный.Если в отдельной последовательности сходимость короче до нуля, то в частной последовательности предел резервуара. А когда элементы делителя уменьшаются гораздо быстрее деления, то частная последовательность будет сильно возрастать:

Неопределенная ситуация. И т.н.: неопределенность типа 0/0 . Когда математики видят последовательности, соответствующие такой неопределенности, они не спешат делиться друг с другом двумя одинаковыми числами, а понимают, какие последовательности быстрее стремятся к нулю и как именно.В каждом примере будет свой конкретный ответ!

6. В жизни

ОМА связывает в цепь активность, напряжение и сопротивление. Часто пишут в этой форме:

Пусть этим пренебрегают с чисто физическим пониманием и формально смотрят на правую часть как на частные два числа. Представьте, что мы решаем школьную задачу по электричеству. Заявленное условие - напряжение в вольтах и ​​сопротивление в ОМА. Вопрос очевиден, решение одно действие.

А теперь обратимся к определению сверхпроводимости: это свойство некоторых металлов иметь нулевое электрическое сопротивление.

Ну что, решили проблему со сверхпроводящей цепью? Только заменить на R\u003d. 0 не выйдет, физика выдвигает интересную задачу, которая конечно стоит научного открытия. И люди, сумевшие в этой ситуации поделить Нобелевскую премию на ноль. Любые запреты полезно уметь обходить!

Очень интересно само по себе. Сэм означает пустоту, отсутствие значения, а рядом с другой цифрой увеличивает свое значение в 10 раз. Все числа с нулевой степенью всегда равны 1.Этот знак использовался в цивилизации майя и также обозначал понятие «начало, причины». Даже календарь Y начинался с нулевого дня. И эта цифра связана со строгим запретом.

Назад к началу школьных лет Мы все хорошо усвоили правило «ноль не может делить». Но если в детстве много воспринимают веру, а слова взрослого редко вызывают сомнения, то иногда хочется разобраться в причинах, чтобы понять, почему были установлены те или иные правила.

Почему нельзя делить на ноль? Этому вопросу я хочу ясного логического объяснения.В первом классе учитель не мог этого сделать, потому что в математике правила объяснялись уравнениями, а в этом возрасте мы и понятия не имели, что это так. А теперь пора выяснить и получить четкое логическое объяснение, почему дробление нуля невозможно.

Дело в том, что в математике независимо распознаются только две из четырех основных операций (+, -, X, /) с числами: умножение и сложение. Остальные операции считаются полученными. Рассмотрим простой пример.

Так скажи сколько получается если тебе 18 на 20? Естественно, в голове сразу возникает ответ: будет 2-й и как же он пришел к такому результату? Кому-то этот вопрос покажется странным - ведь и так все понятно, что получится 2, кто-то объяснит, что с 20 копеек ушло 18 лет и получилось, что будет сделано два экземпляра. Логически все эти ответы не вызывают сомнений, но с точки зрения математики эту задачу следует решать иначе. Еще раз напоминаем, что основными операциями в математике являются умножение и сложение, и поэтому в нашем случае ответом является решение следующего уравнения: Х + 18 = 20.из чего следует, что Х = 20 - 18, Х = 2. Казалось бы, зачем так подробно все расписывать? В конце концов, так все элементарно. Однако без этого трудно объяснить, почему нельзя делить на ноль.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, если мы хотим разделить 18 на ноль. Снова уравнение: 18:0 = х. Так как операция деления происходит от процедуры умножения, то преобразуем наше уравнение, чтобы получить х * 0 = 18.Это всего лишь тупик. Каждое число на сайте ICA при умножении на ноль будет 0 и мы получим 18 лет. Теперь становится предельно ясно, почему нельзя делить на ноль. Сам ноль можно разделить на любое число, а наоборот - к сожалению, нельзя.

А что, если ноль раскололся сам на себя? Это можно записать в таком виде: 0:0 = x или x * 0 = 0. Это уравнение имеет бесчисленное множество решений. Поэтому в итоге вы получите бесконечность. Поэтому операция также не имеет смысла в этом случае.

Сплит 0 лежит в основе многих воображаемых математических шуток, которые при желании может сорвать любой неисполнитель. Например, рассмотрим уравнение: 4*х - 20 = 7*х - 35. Выведу из скобок слева от 4, а справа от 7-й получим: 4*(х - 5)\ u003d 7 * (х - 5). Теперь умножьте левую и правую части уравнения на дробь 1/(х - 5). Уравнение примет такой вид: 4 * (х - 5) / (х - 5) = 7 * (х - 5) / (х - 5).Приведем дроби к (х - 5) и получится, что 4 = 7. Отсюда можно сделать вывод, что 2 * 2 = 7! Очевидно, что хитрость здесь равна 5, а сокращаются дробно, потому что это привело к делению на ноль. Поэтому при разрезании дробей всегда нужно проверять, чтобы в знаменателе случайно не оказался ноль, иначе результат будет совершенно непредсказуемым.

Число 0 можно представить как некую границу, отделяющую реальный мир от воображаемого или негативного мира.Из-за неоднозначного положения многие операции с числовым числом не подчиняются математической логике. Наглядный пример — невозможность сломаться до нуля. А разрешенные арифметические операции с нулем можно производить с помощью общепринятых определений.

История нуля.

Ноль является эталоном во всех стандартных вычислительных системах. Европейцы стали использовать это число относительно недавно, но мудрецы древней Индии пользовались нулем в течение тысячи лет, прежде чем пустое число стало регулярно использоваться европейскими математиками.Раньше у индейцев ноль был обязательной величиной в системе счисления майя. Этот американский народ использовал систему двенадцатого счета, и Нуль имел первый день каждого месяца. Интересно, что знак майя «ноль» полностью совпадал со знаком «бесконечность». Таким образом, древние майя закончились тождеством и непознаваемостью этих величин.

Математические операции с нулем

Стандартные математические операции с нулем можно свести к нескольким правилам.

Дополнение: Если к любому числу прибавить ноль, оно не изменит своего значения (0+x\u003dx).

Вычитание: После вычитания нуля из любого числа значение вычитаемых остатков оставалось неизменным (X-0 = X).

Умножение: любое число, умноженное на 0, дает произведение 0 (A * 0 = 0).

Деление: Ноль можно разделить на любое число, отличное от нуля. При этом значение такой дроби равно 0, а деление на ноль запрещено.

Бросьте себя на шаг. Это действие можно выполнить с любым номером. Дает произвольное число, возведенное в степень нуля, даст 1 (х 0 = 1).

Нуль в любой степени равен 0 (0 А = 0).

При этом возникает противоречие: выражение 0 0 не имеет смысла.

Парадоксы математики

На ноль не поделишь, многие знания со школьной скамьи. Но почему-то невозможно объяснить причину такого запрета.В самом деле, почему формулы деления на ноль не существует, а другие действия с этим числом вполне разумны и возможны? Ответ на этот вопрос дает математика.

Дело в том, что обычные арифметические действия, в которых изучают школьники базовых классов На самом деле не так равнозначны, как кажется. Все простые операции с числами можно свести к двум: сложение и умножение. Эти виды деятельности лежат в основе самой концепции числа, а остальные операции строятся на их применении.

Сложение и умножение

Возьмем стандартный пример вычитания: 10-2=8. В школе считается просто: если два предмета взять два предмета, останется восемь. Но математики рассматривают эту операцию совершенно иначе. Ведь такой операции, как вычитание, для них не существует. Этот пример можно записать по-другому: х + 2 = 10. Для математиков неизвестная разность — это просто число, которое нужно прибавить к двум, чтобы получилось восемь. И никакого вычитания не требуется, нужно просто найти соответствующее числовое значение.

Умножение и деление считаются одним и тем же. В примере 12:4=3 можно понять, что речь идет о разделении восьми предметов на две равные очистки. Но на самом деле это всего лишь перевернутая формула записи 3х4=12. Эти примеры разбивки можно приветствовать бесконечно.

Примеры деления на 0

Тут постепенно становится понятно, почему нельзя делить на ноль. Умножение и деление на ноль подчиняются его правилам.Все примеры на деление этой величины можно сформулировать как 6:0 = х. Но это перевернутая запись выражения 6*х = 0. А как известно, каждое число, умноженное на 0, дает в работе только 0. Это свойство укладывается в рамки самого понятия нулевой величины.

Получается, что такого числа, которое при умножении на 0 дает какое-либо осязаемое значение, не существует, то есть задача не имеет решения. Не стоит бояться такого ответа, это естественный ответ на задания такого типа.Просто нет смысла фиксировать 6-0 и ничем это не объяснить. Короче говоря, выражение можно объяснить тем самым бессмертным «деление на ноль невозможно».

Есть ли операция 0:0? Действительно, если операция умножения на 0 оправдана, то можно ли ее разбить на ноль? Ведь уравнение вида 0x 5 = 0 вполне законно. Вместо цифры 5 можно поставить 0, работа от этого не изменится.

Действительно, 0x0 = 0. Но делить на 0 все равно нельзя.Как уже упоминалось, деление — это обратная операция умножения. Итак, если в примере 0x5=0, нужно определить второй множитель, получаем 0x0=5. Или 10-й или бесконечность. Доставка бесконечности в ноль - как вам?

Но если какое-то число верно в выражении, оно не имеет смысла, мы не можем выбрать ни одно из бесконечного множества чисел. А если да, то значит выражение 0:0 не имеет смысла. Оказывается, даже сам ноль нельзя разделить на ноль.

Высшая математика

Доставка до нуля — головная боль для школьной математики. Математический анализ, изучаемый в технических вузах, представляет собой небольшое расширение понятия задач, не имеющих решений. Например, к известному выражению 0:0 добавляются новые, новые, не имеющие решений в школьных курсах математики:

  • бесконечность разделить на бесконечность: ∞: ∞;
  • бесконечность минус бесконечность: ∞-∞;
  • бесконечное устройство: 1 ∞;
  • бесконечность, умноженная на 0: ∞ * 0;
  • некоторые другие.

Не существует базового метода решения таких выражений. Но высшая математика дает окончательные решения для многих из этих примеров благодаря дополнительным возможностям. Особенно это проявляется при рассмотрении задач предельной теории.

Раскрытие неопределенности

В теории пределов значение 0 заменяется условной бесконечно малой переменной. И преобразуются выражения, в которых при подстановке нужного значения деление получается как ноль.Ниже приведен стандартный пример выявления границы с помощью обычных алгебраических преобразований:

Как видно из примера, простое сокращение дроби приводит к вполне рациональному ответу.

Учитывая пределы тригонометрических функций Их выражения пытаются уменьшить первый большой предел. При рассмотрении пределов, где знаменатель относится к 0 при складывании предела, используется второй большой предел.

Метод LOPITAL.

В некоторых случаях границы выражений можно заменить границами их производных. Справочник ЛОПИТАЛЯ — французский математик, основатель французской школы математического анализа. Он доказал, что пределы выражений равны пределам производных от этих выражений. В математической записи его принцип следующий.

В этом уроке форма 10, 100, 0,1, 0,001 объясняется, как выполнять умножение и деление чисел. Также решал различные примеры по этой теме.

Упражнение. Как умножить число 25,78 на 10?

Десятичный регистр этого числа представляет собой уменьшенную сумму. Нужно написать подробнее:

Вы должны умножить сумму таким образом. Для этого можно просто умножить каждую лунку:

Оказалось, что.

Можно сказать, что умножение десятичной дроби очень простое: вам нужна запятая, чтобы перейти из одной позиции в одну позицию.

Упражнение. Умножить 25,486 на 100.

Умножить на 100, это то же самое, что дважды умножить на 10. Иными словами, необходимо дважды переместить запятую вправо:

Упражнение. Разделить 25,78 на 10.

Как и в предыдущем случае необходимо подать число 22.78 в виде суммы:

Так как необходимо разделить сумму, это эквивалентно делению каждой суммы:

Получается разделить на 10, нужна запятая для перехода влево на одну позицию.Например:

Упражнение. Разделить 124 478 на 100,

Чтобы разделить на 100, это то же самое, что дважды разделить на 10, поэтому запятые перемещаются влево от 2-й позиции:

Если десятичную дробь необходимо умножить на 10, 100, 1000 и т. д., вам понадобится запятая, чтобы перейти на столько позиций, сколько ноль множителя.

И наоборот, если десятичная дробь должна быть разделена на 10, 100, 1000 и т. д., вам потребуется десятичная точка, чтобы переместиться влево на такое количество позиций, которое равно множителю нулей.

Пример 1.

Умножение на 100 означает перемещение десятичной точки вправо на две позиции.

После изменения можно обнаружить, что числа после запятой нет, значит, дробная часть отсутствует. Тогда запятая не нужна, число получилось целым.

Пример 2.

Необходимо переместиться на 4 позиции справа. А вот чисел после запятой всего два. Стоит помнить, что дробь 5614 имеет эквивалентную запись.

Теперь не так сложно умножить на 10000:

Если непонятно, зачем в предыдущем примере к дроби можно добавить два нуля, то дополнительное видео по ссылке сможет помочь.

Эквивалентные десятичные записи.

Запись 52 означает следующее:

Если перед собой добавить 0, то получится запись 052. Эти записи эквивалентны.

Можно два нуля поставить? Да, эти записи эквивалентны.

Теперь посмотрим на десятичную дробь:

Если присвоить ноль получается:

Эти записи эквивалентны. Точно так же можно присвоить несколько нулей.

Таким образом, любому числу можно присвоить несколько нулей после дробной части и несколько нулей перед целой частью. Это будут равнозначные записи с одинаковым номером.

Пример 3.

Поскольку разбиение равно 100, необходимо переместить десятичную точку на 2 позиции влево.Слева запятая там не осталась. Вся часть отсутствует. Эта запись часто используется разработчиками. В математике, если частей нет, вместо них ставят ноль.

Пример 4.

Нужно пройти слева от трех пунктов, а их всего два. Если вы напишите несколько нулей перед числом, это будет эквивалентно.

То есть когда смещения остались, если они закончились, то надо заполнить их нулями.

Пример 5.

При этом стоит помнить, что запятая всегда стоит в полной части. Тогда:

Умножение и деление на числа 10, 100, 1000 — очень простая процедура. Точно так же обстоит дело и с числом 0,1, 0,01, 0,001.

Пример . Умножьте 25,34 на 0,1.

Сделать десятичную дробь реестра 0,1 обычной. Но умножьте то же самое деленное на 10. Следовательно, запятую надо перенести на первую позицию слева:

Аналогично умножаем на 0,01 - делим на 100:

Пример. 5,235 разделить на 0,1.

Решение этого примера строится таким же образом: 0,1 выражается как простое делимое деление - умножается на 10:

То есть для деления на 0,1 нужна запятая, чтобы перейти от одного пункта к одному пункту, что равносильно умножению на 10.

Умножить на 10 и разделить на 0,1 это одно и то же. Запятую нужно поставить прямо на 1-ю позицию.

Делить 10 и умножать на 0,1 - то же самое.Запятую нужно поставить прямо на 1-ю позицию:

.

Разбивка - Что такое, определение и понятие - 2021

Деление — это математическая операция, с помощью которой мы пытаемся разложить число, которое мы назовем делимым, на столько частей, сколько указано другим числом, которое мы назовем делителем.

Представьте, что у нас есть следующая разбивка:

72 ÷ 9 = 8

Это означает, что число 72 в 8 раз больше числа 9 (или в 9 раз больше числа 8). А также, что число 72 можно разбить на 9 частей по 8 единиц или на 8 частей по 9 единиц.

Символ деления

Как мы отмечали в предыдущем абзаце, операция деления обычно обозначается символом, который мы называем обело (÷). Однако вы также можете использовать двоеточие (:) или косую черту (/). Мы также можем использовать горизонтальную черту (-) для обозначения разделения.

Последнее имеет место в следующем примере:

Деление — одно из четырех основных арифметических действий, противоположное умножению. Последнее представляет собой сложение одного и того же числа определенное количество раз.

Таким образом, любое деление можно выразить как умножение. Например, если у меня есть следующее деление: 36 ÷ 4 = 9, это означает, что умножение также может быть выражено следующим образом: 36 = 9 × 4.

Однако мы должны помнить, что деление двух целых чисел, в отличие от умножения двух целых чисел, не всегда дает следующее целое число. Например, так обстоит дело с результатом деления 18 на 7, где результат будет 2,5714. Или можно сказать, что результат равен 2, а остаток равен 4, потому что 18 равно (7 × 2) +4.

Условия разделения

Деление — это количество частей, которое мы назовем делителем, взяв столько частей, сколько указано другим числом, которое мы назовем делителем. Результат называется частным.

То есть, если мы скажем, что 108 между 12 равно 9, 108 — делимое, 12 — множитель, а 9 — частное.

Свойства раздела

Основные свойства раздела:

  • Некоммутативность: Это означает, что, в отличие от умножения, порядок множителей изменяет произведение.Это означает, что 54 на 9 не дает такого же частного, как если бы мы разделили 9 на 54.
  • Разделить на единицу: Каждое число, которое делится на единицу, является одним и тем же числом.
  • Деление нуля: Ноль всегда равен нулю при делении на любое число.
  • Равные дроби: Если a ÷ b = c ÷ d, то также будет верно, что a × d = c × b

Вы поможете в развитии сайта, поделившись сайтом с друзьями

.

Разница между нулем и нулем (Наука и природа) 9000 1

Ноль против нуля

Ноль — это число в действительном множестве, а также целое число с интересной историей и свойствами. Кажется неуместным, потому что не имеет ценности; точнее, пустое количество или нулевое значение.

Из всех чисел в математике ноль занимает важное место в истории. Это была одна из самых интригующих и значительных идей в развитии математики.Математика основана на числах, и вначале в качестве чисел использовались только исчисляемые; поэтому набор чисел ограничивался набором натуральных чисел; как мы называем это сегодня.

Однако введение понятия нуля привело к появлению нового набора чисел, который помог увеличить использование математики. Это не положительное и не отрицательное число, поэтому единственное действительное число не является ни отрицательным, ни положительным. Это аддитивная идентичность. Также в позиционных системах счисления ноль используется как цифра.

Первый принцип математических свойств нуля был впервые введен индийским математиком Брахмагуптой в его книге Брахмапутха Сиддханта, и они таковы:

  • Сумма нуля и отрицательного числа отрицательна.
  • Сумма нуля и положительного числа положительна.
  • Сумма нуля и нуля равна нулю.
  • Сумма положительного и отрицательного составляет их разность; или, если их абсолютные значения равны, то ноль.
  • Положительное или отрицательное число, деленное на ноль, представляет собой дробь со знаменателем, равным нулю.
  • Ноль при делении на положительное или отрицательное число равен нулю или выражается в виде дроби, где ноль является числителем, а конечная величина является знаменателем.
  • Ноль над нулем равен нулю.

Вопреки современному математическому определению, его взгляды допускают деление на ноль, что в современной математике считается неопределенным состоянием.Это ясно демонстрирует нулевое значение аддитивной идентичности. Свойства наиболее часто используемых операций следующие:

Сложение: x + 0 = 0 + x = x

вычитание: x - 0 = x i 0 - x = -x

Умножение: x × 0 = 0 × x = 0

Деление: 0 / x = 0 и x / 0 не определено

Возведение в степень: x 0 = x 1-1 = x / x = 1, но когда x = 0, т.е. 0 0 иногда не определяется

Факториал: 0! = 1: Нулевой коэффициент определяется как 1

Null — это математический термин, который подразумевает пустое/пустое значение или количество.Это синоним нуля, но может варьироваться в зависимости от контекста.

Нулевой вектор — это вектор со всеми нулевыми элементами, и нуль также применяется в том же смысле к матрице со всеми нулевыми элементами. Пустой набор часто называют нулевым набором, а пустой график — нулевым графиком. Многие такие определения можно найти по термину «ноль», подразумевающему пустоту или состав всего единичного нуля.

В чем разница между нулем и нулевым значением?

• Ноль — это число в наборе действительных чисел нулевого размера, а нуль — это термин, используемый для обозначения пустой природы количества или существа.

• Ноль — это число, представляющее нулевое количество и добавочную идентичность.

• Нуль часто используется как синоним нуля, когда он используется для представления характера испускаемой переменной или математической единицы (например, нулевой вектор или нулевой график), но в теории множеств нулевое множество пусто, т. е. множество без элементов, но мощность множества равна нулю.

.

Деление на ноль

В математике число нельзя разделить на нуля. Смотреть:

1. A ∗ B = C {\ i1} Стиль A * B = C}

Если B = 0, то C = 0. Правильно. Но:

2. A = C / B {\ i1} Стиль A = C / B}

(где B = 0, поэтому мы просто разделили на ноль)

То же, что:

3. A = 0/0 {\ i1} Стиль A = 0/0}

Проблема в том, что A может быть любым числом.Это сработало бы, если бы A было равно 1 или 1 000 000 000. 0/0 предположительно находится в неопределенной форме, поскольку нет единого значения. С другой стороны, числа формы A / 0, где A не равно 0, считаются «неопределенными» или «неопределенными». Это связано с тем, что любая попытка определить их приведет к бесконечному значению, которое само по себе не определено. Обычно, когда два числа равны одному и тому же, они равны друг другу. Это неверно, когда они оба равны 0/0. Это означает, что обычные математические правила не работают, когда число делится на ноль.

Неверные доказательства, основанные на делении на ноль

Вы можете скрыть особый случай деления на ноль в алгебраическом аргументе. Это может привести к неверным доказательствам, таким как 1 = 2, например:

Предположим следующее:

0 × 1 = 0 0 × 2 = 0. {\ i1} Начнем с 1 & = 0 {\ i1} Иногда 1 & = 0 {\ i1} Иногда 2 & = 0. \ I0}

Должно быть так:

0 × 1 = 0 × 2. {\ i1} {\ i1} Стиль 0 × 1 = 0 × 2. \ i0}

Деление на ноль:

0 0 × 1 = 0 0 × 2.{\ i1} {\ i1} {\ i1} Timies 1 = {\ i0} {\ i1} frac 2. {\ i0}

Упрощение:

1 = 2. Стиль 1 = 2. \ N, \ N

Было бы ошибкой предполагать, что деление на 0 является законной операцией с 0/0 = 1. трудно обнаружить ошибку. Например, если 1 записано как x , то 0 может быть скрыт за x-x , а 2 может быть x + x . Приведенное выше доказательство может быть отображено следующим образом:

(x - x) x = 0 (x - x) (x + x) = 0 {\ i1} соединение пенопласта {\ i0} (x-x) x = 0 \\ i0} (x-x) (x + x) = 0 \ i0 \ i0}}

Следовательно:

(x - x) x = (x - x) (x + x).(x-x) x = (x-x) (x + x).\,}

Деление на x - x дает:

x = x + x {\ i1} контакт из пенополистирола x = x + x \ i0 ,}

и деление на x дает:

1 = 2. Стиль 1 = 2. \ N, \ N

Приведенное выше «доказательство» неверно, потому что оно делится на ноль при делении на x-x , потому что каждое отрицательное число само равно нулю.

Исчисление

В исчислении вышеуказанные «неопределенные формы» также являются результатом прямой подстановки при оценке пределов.

Деление на ноль на компьютерах

Когда компьютерная программа пытается разделить целое число на ноль, операционная система обычно обнаруживает это и останавливает программу. Обычно он печатает «сообщение об ошибке» или дает совет программисту, как улучшить программу [] . Деление на ноль — распространенная ошибка в компьютерном программировании. Деление чисел с плавающей запятой (десятичных) на ноль обычно приводит либо к бесконечности, либо к специальному значению NaN (не число), в зависимости от того, что делится на ноль.

Деление на ноль в геометрии

В геометрии 1 0 = ∞. {\ i1} displaystyle {\ i1} textstyle {\ i0} {\ i1} = через пятьдесят. } Эта бесконечность (проективная бесконечность) не является ни положительной, ни отрицательной, точно так же, как ноль не является ни положительным, ни отрицательным.

Автор

Alegsaonline.com - Деление на ноль - Леандро Алегса - 23.11.2020 - url: https://en.alegsaonline.com/art/27817
.

Почему оставшаяся часть деления дает много поводов для размышлений?

... потому что приближает нас к полному пониманию и твердой фиксации!

Многие любознательные задаются вопросом, почему в признаках делимости нет 0 или 1. Ведь это тоже цифры, так почему ими никто не занимается?

Ну, причина прозаична - деление на 1 не меняет значения . Другими словами, каждое число, которое делится на 1, остается тем же числом.Это более или менее похоже на бег на месте (даже на беговой дорожке). Мы полностью чувствуем движение, потому что его делает наше тело, но мы остаемся на одном месте с землей.

А ноль? С делимостью на ноль другая история. А именно деление на ноль невыполнимо . Попробуем привести некоторые простые рассуждения.

Например, имея 12 конфет, мы можем разделить их (поровну) на:
а) 12 человек, тогда каждый получает по 1 конфете,
б) 6 человек, тогда каждый получает по 2 конфеты,
в) 4 человека, тогда каждый получает по 3 конфеты,
г) 3 человека, то каждый получает по 4 конфеты,
д) 2 человека, то каждый получает по 6 конфет,
е) 1 человек, то каждый (в данном случае единственный) получает по 12 конфет (т.е. получает все сладости).


И вот мы подошли к естественному пределу, ниже которого опускаться уже нельзя. Нельзя делить конфеты на ноль людей. Почему? Потому что никто не получит эти конфеты! Вы можете легко запомнить это правило: Мы не делим на ноль, потому что ошибка («ошибка» — это английское слово, обозначающее ошибку). Вывод - делимости на ноль нет, потому что такое деление невозможно (не допускается).


Однако есть дополнительный вопрос .Что, если бы мы захотели разделить ноль на другое число? Сколько тогда у нас будет делителей? Ну, ноль имеет бесконечно много делителей . Что это значит? Только то, что наш ноль можно разделить на любое число (кроме нуля!) и в результате всегда будет ноль. Например: 0:2 = 0, 0:10 = 0, 0:25 = 0. Если кто-то хочет понять, почему это возможно и почему результат равен нулю, пусть подумает, что происходит, когда мы делим « притворяющихся конфет». " в руке на двоих.Каждый получает одинаковую сумму, но из-за того, что у нас ничего не было, поэтому из пустого даже Соломон не нальет. Одним словом если у нас ничего нет, то поделившись этим с другими... наши адресаты получат те же .

С другой стороны, для числа 1, у нас есть только один делитель . Другими словами, единица делится только на 1, потому что если вы разделите ее на любое другое число, вы получите остаток. Посмотрим, что 1:1 = 1 (нет остатка), но уже 1:2 = 0 r 2 (т.е. ноль целого и остаток 2). Мы разрезаем одну пиццу пополам, и у нас нет целого, но у нас есть два равных куска (это математическое остальное).

Собрав все выводы видим, что :
- не делится на 0, т.к. ни одно число не делится на 0 (т.к. выходит ошибка),
- не делится на 1, т.к. каждое число делится на 1 ( результатом всегда является исходное число).

В свою очередь, если мы хотели :
- проверить, сколько делителей в числе 0 - т.е. на сколько частей (без остатка) мы можем разделить 0, то получается, что у него бесконечно много делителей (кроме нуля) ,
- проверить, сколько делителей имеет число 1 - то есть на сколько частей (без остатка) мы можем разделить 1, тогда окажется, что делитель у него только один (оно же 1).

Наверняка из таблицы все ясно. Помните, что при умножении (произведении) порядок элементов (множителей) не имеет значения, но в случае деления (частного) получится результат, обратный результату. Хорошо, давайте какое-то время повторять как мантру: На ноль не делим, потому что выходит ошибка . Это следует быстро закодировать в уме, чтобы исключить это действие.


Мы ясно видим, что , заканчивая обсуждение признаков делимости, мы автоматически входим в проблему кратных, делителей и остатка от деления .Впрочем, этим мы займемся в следующий раз.

Резюме: Признаки делимости двух непослушных чисел (единицы и нули) поначалу могут показаться немного запутанными. Однако хорошо бы подойти к ним несколько раз (прочитать и спокойно подумать не один раз), чтобы они, наконец, пришли нам в голову. Им также отводится особое место при обсуждении простых и комплексных чисел . Тогда текущие знания должны работать еще лучше.

Добавлю, что понимание сути (недопустимого) деления на ноль необходимо для того, чтобы исключить (опустить) неверные решения в случае, например, рациональных уравнений. Если это не совсем понятно сейчас, позже это может несколько сбить с толку.

.

Раздел с остатками

Остаток

Для любого целого числа $a$ и любого целого числа $b$ существует только одна пара чисел сумма $k$ и $r$ таких, что $a = k\cdot b+r$, где $0\le r\ltb$.

Число $k$ — это частное от деления $a$ на $b$, а числа $r$ — остаток от деления.

Из этой теоремы заключаем, что для данного числа $b$ каждое общее число $a$ можно записать как $a=k\cdot b+r$, где $r$ — целое число менее $b$.Тогда мы говорим, что число $a$ дает остаток от $r$ при делении на $b$. В частности, если $r = $0, мы говорим, что $a$ делится на $b$.

Примеры:
$13\div 5=$2, остальные $3$, потому что $13=2\cdot 5+3$
$20\div 6=$3, остальные $2$, потому что $20=3\cdot 6+2$
100$\дел 15=6$, остальные 10$, т.к. 100$=6\cдот 15+10$

Делимость отрицательных чисел

Согласно приведенному выше определению, в котором число $a$ — любое целое число, а делитель $b$ — натуральное число, остаток $r$ при делении отрицательного числа $a$ на положительное число $b$ будет положительным.Итак, нам нужно найти пару целых чисел $k$ и $r$, где $a=k\cdot b+r$ и $0\le r\ltb$.

Пример:
$-12\div 5=-3$, остальные $3$, т.к. $-12=-3\cdot 5+3$
Частное от $k$ равно $-34$, остаток от $r = $3.
Для определенных таким образом пар $k$ и $r$ деление производилось как определено.

Если бы мы предположили, что остаток от деления целого числа $a$ на другое целое число $b$ может быть отрицательно, это привело бы к двусмысленности.

Например, деление: $-14 \ div 5 $ может быть записано двумя способами:
$-14\дел 5=-2$, остаток $-4$
или
$-14\div 5=-3$, остаток $1 $

По определению вторая операция выполнена правильно, поэтому остаток от деления $-14$ на $5$ равен $1$.

Для полного делителя давайте расширим первое определение.
.

Для целых чисел $a$ и $b\neq 0$ существует одна и только одна пара целых чисел $k$ и $r$ такая, что $a = k\cdot b+r$, где $0\le r\lt|b|$.Число $a$ назовем делимым, числа $b$ — делителем, $k$ — частным, а числа $r$ — остатком.

В приведенном выше определении четко сказано, что остаток от деления общего числа $a$ на общее число $b$ должно быть натуральным числом меньше абсолютного значения $b$.

Примеры
$13\div(-5)=-2$, остальные $3$, потому что $13=(-2)\cdot(-5)+$3
$-13\div 5=-3$, остальные $2$, т.к. $-13=(-3)\cdot 5+2$
$-13\div(-5)=$3, остальные $2$, потому что $-13=3\cdot(-5)+$2


Некоторые учебники дают остаток от деления $a$ на $b$ (пишем $a$mod$b$)
$a\modb=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor\cdotb$, где $\lfloor\rfloor$ - целое число.

Четные и нечетные

Тест - деление по остаткам

.

Математика для всех: Признаки делимости чисел I (0-5) 9000 1 Признаки делимости чисел — это методы, которые позволяют быстро распознать, полностью ли делится одно число на другое. Это может сэкономить много времени и вычислений, если вас интересует не результат деления, а целое число. Вот правила деления на конкретные числа и их подробное объяснение:

Вы ищете признаки делимости других чисел? Вы наверное пропустили статью:
Признаки делимости II (6-10) <= ссылка

Учащимся начальной и средней школы будут интересны только правильные правила и, возможно, примеры, основанные на конкретных числах.Не волнуйтесь, если мои описания создания общих формул с буквами слишком сложны для вас - в старших классах наступает время, когда вы можете их понять.

Чтобы быстро определить, можно ли разделить одно число на другое, просто используйте приемы, перечисленные здесь. Но чтобы понять, как работают эти трюки, нужно проявить чуть больше инициативы.

Деление без остатка — это такое деление, при котором дает целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Прежде всего, вы должны знать, что пример числа х делится на любое целое число х , если х кратно х . Кратность обычно обозначается буквой k (раз), где k — любое натуральное число. Мы можем написать это так:

И после умножения обеих сторон на n:
Как видите, число x делится как на число n , так и на число k .

А ноль?

В яблочко. Формального отнесения нуля к множеству натуральных чисел не существует — это вопрос условности. С другой стороны, ноль принадлежит множеству целых чисел. Верно, что для любого числа, отличного от нуля, равенство равно:

.

Поэтому мы можем сказать, что ноль делится на любое число, отличное от нуля (деление на ноль мы обсудим в другой раз) без остатка, потому что результатом этой операции является целое число, равное 0 .


Ах да, мы начинаем с толстой трубы, поэтому определение такое:
Каждое целое число делится на 1 без остатка.

Я мог бы использовать какую-нибудь "мудрую" формулу, например:

А теперь обсудите это.
Но я этого делать не буду, так как не хочу обижать читателей своего блога ;) Число делится на 2, если оно четное, т.е. когда его последняя цифра: 2, 4, 6, 8 или 0.

Почему?

Это связано с определением четных чисел - каждое четное число делится на 2.

Мы можем написать формулу, которая всегда дает нам четное число:

.

2 * n , где n — любое натуральное число , т.е. целое положительное или отрицательное число

Ноль здесь является особым случаем, поскольку не установлено, принадлежит ли он множеству натуральных чисел. Однако принято считать ноль четным числом. Это можно дополнительно подтвердить, разделив их на два:

Результатом является целое число (поскольку ноль входит в набор целых чисел) без остатка, поэтому вы можете считать ноль четным.

Другим доказательством может быть утверждение, что находится ровно между двумя нечетными целыми числами. одно четное целое число. Посмотрим:

{..., - 2, −1,0,1,2, ...}

Мы видим, что на числовой прямой между двумя соседними нечетными числами -1 и 1 стоит четное число - ноль .

В качестве дополнительного свойства помните, что кратное четному числу всегда будет четным.Сохраняя приведенное выше общее обозначение четных чисел как 2 * n и умножая его как любое натуральное число k , мы можем записать кратное четного числа как:

2 * п * к

Это число всегда четное , потому что у него все еще есть два , которые сократятся, если вы разделите его на B:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Почему?

Чтобы понять, почему так происходит, запишем любое десятичное число как произведение.Для этого возьмем трехзначное число, где а — количество сотен, b — количество десятков и с — количество единиц:

100 * а + 10 * b + 1 * с = 100а + 10b + с

Так мы записывали любое трехзначное число. Представим его, например, числом 762 , т.е. a = 7, b = 6, c = 2 :

100а + 10b + с = 100 * 7 + 10 * 6 + 2 = 700 + 60 + 2 = 762

Как мы можем использовать нашу формулу, чтобы доказать, что сумма чисел, делящихся на 3, даст нам целое число, делящееся на 3? Достаточно записать сумму из нашей формулы следующим образом:

100а + 10b + с = 99а + а + 9b + b + с = 99а + 9b + а + b + с

Числа 99 и 9 делятся на 3, но давайте завершим формальности, поставив тройку перед скобкой:

3 (33а + 3б) + а + б + в

Мы разделили подписку на две части.Слева зеленый , всегда будет делиться на 3 . Верно, красное , это не что иное, как сумма цифр нашего числа . Если эту сумму разделить на 3 , то все число поделится на 3 ! Здесь стоит отметить, что числа и , обозначающие число сотен , могут быть сколь угодно велико, поэтому доказательство на самом деле исчерпывает все возможные числа.


Существует три различных метода деления на 4:
  1. Число делится на 4, если его последние две цифры составить число, которое делится на 4.
  2. Число делится на 4, если его можно дважды разделить на 2.
  3. Число делится на 4, если сумма одной цифры и цифры двойных десятков делится на 4.
Почему?

Каждое число, кратное 4, будет удовлетворять всем этим условиям (это так называемые условия, достаточные — такие, что их не нужно дополнительно подтверждать другими способами), поэтому нужно проверить только одно из них.Однако давайте пройдемся по ним всем, чтобы понять, что здесь происходит:

  1. Число делится на 4, если его последние две цифры образуют число, которое делится на 4.


    Чтобы понять принцип действия этого правила, нужно только заметить, что 100 делится на 4 (ноль делится на любое натуральное число!) :

    100: 4 = 25

    Теперь, имея любое число, например 48965352 , мы можем записать его в виде суммы:

    48965352 = 48965300 + 52 = 489653 * 100 + 52

    Или, в более общем случае, если предположить, что и — это число сотен, а b — это количество десятков и единиц:

    а * 100 + б

    У нас есть число, записанное из двух частей: Левое, зеленое, однозначно разделяющее на 4, потому что число 100 делится на него.Правильно, красный, это два последние цифры всего номера. Если они делятся на 4, то все они число будет делиться на 4.
  2. Число делится на 4, если его можно дважды разделить на 2.


    Это очень интуитивно понятное обозначение, которое вы можете легко разгадать самостоятельно. Если данное число делится на 4, мы можем записать его как произведение:

    .

    n * 4 = n * 2 * 2, , где n принадлежит множеству натуральных чисел

    Теперь вы видите, что вы можете дважды разделить это число на 2, чтобы получить целое число.
  3. Число делится на 4, если сумма одной цифры и цифры двойных десятков делится на 4.


    Как и в случае с первой пулей, есть случай, когда учитываются только цифры десятков и единиц. Поэтому нам не нужно рассматривать, что происходит с остальной частью числа. Итак, разберем свойство на примере двузначного числа, записанного в знакомой нам форме суммы произведений:

    100 * а + 10 * b + 1 * с = 100а + 10b + с

    Это число должно делиться на 4 , поэтому оно должно быть кратно 4 .Определим такое кратное числом n * 4 , т.е. 4n :

    100а + 10b + с = 4n

    Затем мы проделаем несколько простых операций, вычитая и складывая обе части уравнения:

    100а + 10b + с = 4n / -100а-10b

    с = 4н -100а - 10б / + 2б

    с + 2b = 4n -100a -12b

    Мы можем нарисовать четверку перед скобками в правой части:

    с + 2b = 4 (n -25a -3b)

    Доказательство завершено — правая часть уравнения делится на 4, значит, левая часть тоже должна делиться.Поскольку c было числом единиц, а b было числом десятков, мы получили обозначение, что число делится на 4 , если сумма одной цифры ( c ) и двойной цифры десятков ( 2b ) делится на 4 .

    Здесь стоит отметить, что числа и , означающие число сотен , могут быть любого большого размера, поэтому доказательство фактически исчерпывает все возможные числа.

Число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.

Почему?

После экстенсивного деления на 4 следует простое деление на 5 . Мы снова будем использовать число как произведение, но на этот раз ограничимся количеством единиц и десятков:

.

10 * б + 1 * с = 10б + с = 5 * 2б + с

Сразу видно, что число десятков ( зеленых ), каким бы оно ни было, всегда будет делиться на 5 . Все, что осталось, это красный одна цифра c .Есть только две цифры, которые можно разделить на 5 . Это 5 и 0 . Таким образом, единица, последняя цифра числа, должна быть 0 или 5 — и на этом доказательство заканчивается.

Признаки делимости на другие числа можно увидеть в остальных статьях:

.

Смотрите также