Post Icon



В каком классе изучается теорема пифагора


Урок геометрии в 8-м классе по теме: "Теорема Пифагора" (интегрированный урок)

Цель урока:

  • Изучение теоремы Пифагора, ее роль в геометрии, использование теоремы в решении задач.
  • Развитие познавательного интереса, творческого поиска, самостоятельности.
  • Воспитание культуры математической речи.

Оборудование:

  1. Доска магнитная.
  2. Магниты.
  3. Плакаты с задачами.
  4. Мел цветной.
  5. Портрет Пифагора.
  6. Указка.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Повторение пройденного материала

(Подготовка к восприятию нового материала).

По готовым рисункам заданы классу вопросы:

Какой треугольник изображен на рисунке 1? (Прямоугольный).

1. Назовите катеты и гипотенузу (ВС и АС – катеты, АВ – гипотенуза).

Рисунок 1                      Рисунок 2

2. Какой треугольник на рисунке 2? (Равнобедренный, прямоугольный, углы при основании 450)

3. По данным рисунка 3 докажите, что KMNP – квадрат. Как выразить его площадь?

     

Рисунок 3                             Рисунок 4

По рисунку 4 сравните сумму квадратов катетов с квадратом гипотенузы.

Сделайте вывод.

III. Объяснение нового материала.

Послушайте загадку:

“Соедини предлог с игрою,
И чудо вдруг произойдет.
Цветок Египта знаменитый
Перед тобою расцветет”. (Лотос)

Рисунок 5

А теперь послушайте задачу, предложенную древними индусами:

1) “Над озером тихим с полфута размером высился лотоса цвет. Он рос одиноко. И ветер порывом отнес его в сторону. Нет более цветка над водой. Нашел же рыбак его ранней весной в двух футах от места, где он рос. Итак, предложу я вопрос: как озера вода здесь глубока?”

Показываю рисунок 5 и объясняю, что означает 1 фут. 1 фут = 0,3048 м. Единица длины системы мер, принятой в англоязычных странах.

Как найти отрезок CD? Кто как думает? Достаточно ли у вас знаний для решения этой задачи?

Предлагается еще одна задача индийского математика XII в. Бхаскары:

2) “На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол оставлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки сталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?”

Показываю рисунок к задаче. Перед учениками ставится проблема: Что надо знать, чтобы решить эту задачу.

Ребята! Знаете ли вы что-нибудь, связанное с именем Пифагора?

Ученики могут сформулировать теорему или рассказать о головоломке-игре “Пифагор”.

В каком из европейских городов есть улица Пифагора?

Сегодня вы познакомитесь с одной из основных теорем геометрии, которую помнят все учащиеся. О математике, именем которого названа теорема, рассказывает ученик. Показываю его портрет.

В древней Греции жил ученый Пифагор (родился он около 580 г. до н.э., а умер в 500 г. до н.э.). С его именем связано много легенд. Он много путешествовал, был в Индии, Египте, Вавилоне, изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. На юге Италии возникла Пифагорейская школа. Ими было сделано много в арифметике и геометрии. Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания.

В чем суть теории Пифагора? Ваши предложения.

После этого объявляется тема урока и цель.

“В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”.

Изобразите прямоугольный треугольник (рисунок 6) и запишите эту формулировку в обозначениях.

Рисунок 6

С = 900, АВ2 = АС2 + ВС2 или в виде с2 = а2 + в2 .

Во времена Пифагора эта теорема звучала так: “Доказать, что квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника равен сумме квадратов, построенных на катетах”. Или “Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах”.

2-й ученик рассказывает историческую справку об этой теореме.

Теорема была известна задолго до Пифагора египтянам, вавилонянам, китайцам, индийцам. За несколько веков до н.э. эта теорема была хорошо известна и использовалась для построения алтарей.

Доказательство самого Пифагора до нас не дошло. В настоящее время известно более ста способов доказательства теоремы Пифагора.

Показываю рисунок 7.

Рисунок 7

Смотрите, а вот и Пифагоровы штаны на все стороны равны. Такие стишки придумывали учащиеся, рисовали шаржи к теореме Пифагора. Показываю красочные рисунки.

Теперь докажем теорему и запишем ее доказательства в обозначениях (рисунок 8). Используя наводящие вопросы, ведет запись на доске сильный ученик, а остальные ученики у себя в тетрадях.

Дано:

С = 900,

Доказать:

АВ2 = АС2 + ВС22 = а2 + в2 ).

Рисунок 8

Доказательство:

1) Достроим АВС до квадрата EFLD со стороной а + в (рисунок 9).

SEFLD = (а + в)2

2) Из каких фигур состоит квадрат EFLD?

Рисунок 9

SEFLD = SPKMN + 4SD ABC = c2 + 4ав = с2 + 2ав

(а + в)2 = с2 + 2ав

а2 + 2ав + в2 = с2 + 2ав

с2 = а2 + в2.

Делаем вывод!

А для чего нужна теорема Пифагора?

Задача 1. Вычислить, чему равна гипотенуза треугольника, изображенного на рисунке 10. (ответ: 5)

Рисунок. 10

Обратите внимание на эти три числа: 3, 4, 5 (треугольник с такими сторонами называется египетским). О нем вы прочитает дома на стр. 127.

Найдите d по рисунку 11.

d2 = 62 + 82 (треугольник прямоугольный)

d2 = 36 + 64

d2 = 100

d = 10

Рисунок 11

Итак, ребята, сделаем вывод, когда можно использовать теорему Пифагора?

Ответ: только для прямоугольного треугольника.

А теперь вернемся к задаче о лотосе.

CD2 = BD 2 – BC2

(x + )2 – x2 = 22,

x2 + x + - x2 = 4

x = 3.

Ответ: 3 фута.

Задача 2. Вычислите длину неизвестного отрезка по рисунку 12.

Рисунок 12

AC2 = 0,52 + 12 = 0,25 + 1 = 1,25

х2 = AC2 + CD2 = 1,25 + 1 = 2,25

x = 1,5

Задача 3. Является ли треугольник прямоугольным, если его сторона выражается числами 5, 6, 7? (самостоятельно)

Задача 4. Вертолет поднимается вертикально вверх со скоростью 4 м/с. Определите скорость вертолета, если скорость ветра, дующего горизонтально равна 3 м/с (рисунок 13).

Рисунок 13

v2 = 32 + 42 = 25

v = 5.

Ответ: 5 м/с.

IV. Значение теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора – одна из главных и, можно сказать, самая главная теорема геометрии. Издавна она применялась в разных областях науки, техники, практической жизни (для определения прямых углов при построении зданий).

Значение ее состоит в том, что с помощью ее можно доказать большинство теорем геометрии. О ней писали в своих произведениях римский архитектор и инженер Витрувий, греческий писатель-моралист Плутарх, математик V века Прокл и другие. Легенда о том, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву быка или сто быков, как рассказывали другие, послужила поводом для рассказов писателей и стихов поэтов. Вот одно из стихотворений:

“Требует вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теореме Пифагора
Верна и как и в его далекий век.
Обильно было жертвоприношение
Богам от Пифагора сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За свет луча, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор
Чуть истина рождается на свет,
Быки ревут, ее почуя вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор”.

Вывод.

Пытаясь доказать теорему Пифагора и решать задачи, находя для себя новые пути, вы научитесь решать задачи, не только математики, но и все, которые ставит жизнь.

Домашнее задание.

П. 54, № 483 (а, б), 486 (а, б), стр. 128.

Сильным ученикам найти другой способ доказательства теоремы.

V. Итог урока.

Вопросы к учащимся:

  1. Возможно ли было бы решение задач данного типа без знания теоремы Пифагора? Почему?
  2. В чем суть теоремы Пифагора?
  3. О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?
  4. Комментирование оценок.
  5. Вопросы учащихся.
  6. Слова признательности ученикам за сотрудничество на уроке.

Теорема Пифагора / Площадь / Справочник по геометрии 7-9 класс

  1. Главная
  2. Справочники
  3. Справочник по геометрии 7-9 класс
  4. Площадь
  5. Теорема Пифагора

Теорема

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство

Дано: прямоугольный треугольник, и - катеты, - гипотенуза.

Доказать: .

Доказательство:

Достроим данный треугольник до квадрата со стороной + .

Площадь этого квадрата .

Также, по свойству 20 площадей, площадь этого же квадрата , т.к. данный квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна , и внутреннего четырехугольника со стороной , который является квадратом, так как каждый угол данного четырехугольника с парой острых углов из двух прямоугольных треугольников  образуют развернутый угол, т.е. равный 1800, при этом сумма пары острых углов равна 900 (свойство прямоугольного треугольника), тогда угол внутреннего четырехугольника равен 1800 - 900 = 900. Следовательно, площадь квадрата со стороной  равна .

Итак, и , значит, , откуда , следовательно, . Теорема доказана.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Понятие площади многоугольника

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

Площадь параллелограмма

Площадь треугольника

Площадь трапеции

Теорема, обратная теореме Пифагора

Формула Герона

Площадь

Правило встречается в следующих упражнениях:

7 класс

Задание 484, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 485, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 507*, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 532, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 578, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 614, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 745, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 763, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1125, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник

Задание 1278, Атанасян, Бутузов, Кадомцев, Позняк, Юдина, Учебник


© budu5.com, 2022

Пользовательское соглашение

Copyright

Урок по геометрии в 8 классе на тему "Окружность"

Автор работы: Келехсаева А.С.

Должность и место работы: учитель математики МБОУ СОШ № 2 с.Чермен.

Пояснительная записка.

Ежегодно каждый вариант ЕГЭ (ОГЭ) содержит задания на применения сведений по курсу планиметрии и по курсу стереометрии (ЕГЭ). Планиметрические задачи, чаще всего, связаны со свойствами окружности, вписанной в треугольник (или четырехугольник), либо со свойствами окружности, описанной около треугольника (или четырехугольника). В каждом из таких заданий были представлены задачи, проверяющие умения применять ключевые для данных фигур сведения (свойства касательных, хорд и т.д.). Поэтому, совершенно естественным становится вопрос о глубине знаний по данной теме.

В течении урока используется презентация, которая, во-первых, позволяет повторить весь материал главы «Окружность» целым блоком. Во-вторых, закрепить изученный материал в процессе решения задач. Поскольку актуальным остается вопрос дифференциации в обучения математике, то задачи подобраны 3-х уровней сложности. Презентация состоит из 25 слайдов и снабжена управляющими кнопками, поэтому при решении задач, в случае необходимости можно возвращаться на слайды теоретической части. Некоторые задачи снабжены кратким решением. Это позволяет осуществлять самоконтроль, который направлен на предупреждение или обнаружение ошибок.

Урок геометрии.

8 класс.

Тема: «Окружность».

Тип урока: урок обобщающего повторения

Цели урока:

Оборудование:

  • Компьютер, проектор, презентация

  • Карточки с заданием для диктанта (приложение 1)

  • Циркуль, треугольник, линейка

Ход урока.

1). Организационный момент.

Сообщить тему урока, сформулировать цели урока.

2). Актуализация знаний учащихся.

Математический диктант:

Диктант проводится с целью систематизации теоретического материала.

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение или правильная формулировка определения, теоремы или свойства.

1) Прямая и окружность имеют две общие точки, если расстояние от… до … меньше ….

2) Угол АОВ является центральным, если точка О является …, а лучи ОА и ОВ …

3) Вписанный угол равен…

4) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, …

5) Если прямая АВ – касательная к окружности с центром О и В - точка

касания, то прямая АВ и …ОВ…

6) Если хорды АВ и CD пересекаются в точке Е, то верно равенство…

7) Запишите формулу нахождения длины окружности: С=…

8) Запишите формулу нахождения площади круга: S=…

9) Центр окружности, вписанной в треугольник, - точка пересечения…

10) Центр окружности, описанной около треугольника, - точка пересечения…

11) В любом вписанном четырехугольнике сумма…

12) В любом описанном четырехугольнике сумма…

Далее предложить ребятам обменяться тетрадями (для взаимопроверки) и проверить ответы. После каждого ответа открыть соответствующий слайд, повторить соответствующий вопрос теории, проанализировать ошибки.

Ответ №1: «от центра до прямой меньше радиуса». Открыть слайд 1

Ответ №2: «центром окружности, а лучи – радиусами»

Ответ №3: «половине дуги, на которую он опирается».

Открыть слайд №4:

Ответ №4: «прямой». Открыть слайд №5.

Ответ №5: «радиус ОВ перпендикулярны». Открыть слайд №6.

Касательная к окружности перпендикулярна

радиусу, восстановленному в точку касания.

Отрезки касательных, проведенные из одной

точки, равны и составляют равные углы с

прямой, проходящей через данную точку и центр

окружности.

Ответ №6: «АЕ ∙ BE = CE ∙ ED». Открыть слайд №7:

Ответ №7: С = 2πr

Ответ №8: S = πr2 Открыть слайд №8:

Ответ №9: биссектрис. Открыть слайд №9:

Ответ №10: серединных перпендикуляров.

Открыть слайд №10:

Ответ №11: противоположных углов = 1800.

Ответ №12: противоположных сторон равны.

Открыть слайд № 11:

3. Решение задач: Данная презентация содержит 12 задач разного уровня.

Уровень I –задачи №1, 2, 3, 4. Это задачи устного характера. Каждая

Задача содержит чертеж и (по щелчку мышки) ответ.

Уровень II – задачи №5, 6. Это текстовые задачи. Здесь (по щелчку

мышки) можно поэтапно проверить сначала правильность

построения чертежа, затем краткое решение и ответ.

Уровень III – задачи 7 – 12. Здесь по щелчку мыши сначала можно

проверить чертеж, затем часть решения или наводящий

вопрос и только потом дальнейшее решение и ответ.

При решении задач, в случае необходимости можно возвращаться на слайды теоретической части.

4. Самостоятельная работа:

1) Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. АЕ = 8см, ВЕ = 6см, CD = 16см. В каком отношении точка Е делит отрезок CD?

2) Равнобедренный треугольник с высотой, проведенной к основанию и равной 16 см, вписан в окружность радиуса 10 см. Найдите площадь этого треугольника и его боковую сторону.

5. Подведение итогов урока: Оценить работу учащихся на уроке.

6. Домашнее задание: №722, 726

Свойства медиан треугольника | Треугольники

Свойство медиан треугольника может быть доказано многими способами. Доказательство, опирающееся на свойства параллелограмма и средней линии треугольника, может быть проведено сразу же после изучения соответствующих тем, что позволяет начать использовать свойство медиан треугольника уже с  начала 8 класса.

Теорема

(Свойство медиан треугольника)

Медианы треугольника пересекаются и в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Дано: ABC, AA1, BB1, CC1 — медианы

Доказать:

   

   

Доказательство:

 

1) Пусть M — середина отрезка AO, N — середина BO

(то есть AM=OM, BN=ON).

2) Соединим точки M, N, A1 и B1 отрезками.

Тогда MN — средняя линия  треугольника AOB и

   

3) Так как AA1 и BB1 — медианы треугольника ABC, точка A1- середина отрезка BC, B1 — середина AC.

Следовательно, A1B1 — средняя линия треугольника ABC и

   

4) Имеем:

   

Значит, четырёхугольник MNA1B1 — параллелограмм (по признаку).

По свойству диагоналей параллелограмма

   

Таким образом,

   

   

   

из чего следует, что

   

5) Доказательство того факта, что все медианы треугольника пересекаются в одной точке, будем вести методом от противного.

Предположим, что третья медиана CC1 треугольника ABC пересекает медианы AA1 и BB1 в некоторой точке, отличной от точки O.

Тогда на каждой медиане есть две различные точки, делящие её в отношении 2:1, считая от вершины. Пришли к противоречию.

Таким образом, все три медианы треугольника пересекаются в одной точке и точка пересечения медиан делит каждую из их в отношении 2:1, считая от вершины:

   

Что и требовалось доказать.

90 000 предметов - дистанционные уроки - портал Gov.pl

март 9000 3

Урок 1. Об искусственном интеллекте и реальном обществе

Я получу знания об искусственном интеллекте.

Урок 2. Переводы Шекспира

Я узнаю о пьесах Шекспира.

Урок 3. Адам Мицкевич "Акерманские степи"

Познакомлюсь с избранными "Крымскими сонетами" А. Мицкевича.

Урок 4. Татры и творчество Казимира Пшерва-Тетмайера

Я получу знания о Казимеже Прзерва-Тетмайере.

Урок 5. Диалог

Я получу знания о польских диалектах.

Урок 6. Заимствованные и родные слова

Я получу информацию о заимствованных словах и родных словах.

Урок 7. Хенрик Сенкевич "Quo vadis"

Я прочитаю роман "Quo vadis" и узнаю о Риме времен Нерона.

Урок 8. Посещение виртуального музея

Я познакомлюсь с виртуальным музеем.

Урок 9. Игнатий Красицкий "Сатиры"

Познакомлюсь с сатирами И.Красицкий.

Урок 10. Александр Каминский "Камни для крепостного вала"

Познакомлюсь с "Камнями для крепостного вала" А. Каминского.

Урок 11. Чеслав Милош "Песня о фарфоре"

Познакомлюсь со стихотворением Чеслава Милоша "Песня о фарфоре".

Урок 12. Мирон Бялошевский "Дневник Варшавского восстания"

Познакомлюсь с "Дневником Варшавского восстания" Мирона Бялошевского.

апрель

Урок 13. Збигнев Герберт "Колблющаяся Ника" и "Галька"

Познакомлюсь со стихами "Ника, которая колеблется" и "Камык" Збигнева Герберта.

Урок 14. Топонимика

Я научусь писать местные названия.

Урок 15. Антуан де Сент-Экзюпери «Маленький принц»

Я познакомлюсь с книгой "Маленький принц" Антуана де Сент-Экзюпери.

Урок 16. Стиль языка

Я изучу типы языковых стилизаций и научусь их распознавать.

Урок 17. Разновидности современного польского языка

Познакомлюсь с особенностями средовой, территориальной и профессиональной разновидностей польского языка.

Урок 18. Библия как бесконечный источник культуры

Я узнаю о современных литературных текстах, связанных с Библией, и пойму, что Священное Писание — непреходящий источник вдохновения для творцов всех времен.

Урок 19. Как мы общаемся?

Я узнаю, что такое эффективное языковое общение и какие средства я могу использовать для улучшения его качества.

Урок 20. Гротеск на примере фрагментов "Wesele w Atomicach" Славомира Мрожека

Я узнаю, что такое гротеск, научусь распознавать его в текстах и ​​прочитаю отрывки из рассказа Славомира Мрожека «Веселье с атомом».

Урок 21. Поэт и его поэзия

Ознакомлюсь со стихотворениями «Поэзия» Юлиана Тувима и «Некоторые люди любят поэзию» Виславы Шимборской и отрывками из «Общества мертвых поэтов» Нэнси Х. Клейнбаум. Я узнаю, что такое поэзия для поэтов, и рассмотрю характеристики идеального учителя.

Урок 22. Повторение перед экзаменом - контрольная по чтению

Повторю школьное чтение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 23. Как жить в виртуальном мире?

Я узнаю, что такое «племена сети» и рассмотрю роль Facebook в виртуальном общении.

Урок 24. Эрнест Хемингуэй «Старик и море»

Я буду учить и интерпретировать отрывки из романа Эрнеста Хемингуэя «Старик и море».

Урок 25. Миф о Нарциссе

Я узнаю миф о Нарциссе и ссылки на него в современных культурных текстах.

Урок 26. Хенрик Сенкевич "Наброски углем" и сатирическая литература

Я выучу отрывки из «Набросков углем» Генрика Сенкевича и узнаю, что такое сатирическая литература.

Урок 27. Посещение Музея современного искусства

Я увижу виртуальную выставку «Искусство, взятое из повседневности» в Музее современного искусства.

Урок 28. На полях общей лексики

Повторю знание архаизмов, неологизмов и поэзии.

Урок 29. Для чего мы говорим и пишем?

Я познакомлюсь с функциями языка и выражения, научусь распознавать их в различных типах текстов.

Урок 30. «Маленький принц» Антуана де Сент-Экзюпери

Познакомлюсь с романом Антуана де Сент-Экзюпери «Маленький принц» и современными отсылками к произведению.

май

Занятие 31. Род и грамматический род слов

Повторю знания о грамматическом роде слов, узнаю, чем отличается грамматический род от натурального.

Урок 32. "Везде темно, везде глухо..." - Партия "Дзяды". II Адам Мицкевич

Познакомлюсь со второй частью «Дзяды» Адама Мицкевича.

Урок 33. Человек и его мир в языке и грамматике

Позвольте мне вспомнить грамматические категории частей речи и подумать о связи между грамматикой и языковой коммуникацией.

Урок 34. Греческая мифология - Повторение

Я вспомню, что такое мифы и откуда они взялись и что касалось греческих мифов.

Урок 35. Пятница в театре - "Тевтонские рыцари" в Театре миниатюр в Гданьске

Я посмотрю постановку "Тевтонских рыцарей" Генрика Сенкевича.

Урок 36. Быстрая повторка перед экзаменом - Часть 1

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 37. Хенрик Сенкевич "Огнем и мечом"

Узнаю и интерпретирую фрагменты романа Генрика Сенкевича «Огнем и мечом», вспомню черты исторического романа.

Урок 38. Современное прикладное искусство

Познакомлюсь с образцами современного прикладного искусства, узнаю, что такое дизайн, дизайн и дизайн.

Урок 39. Деловой стиль

Познакомлюсь с особенностями делового стиля и видами документов, написанных в этом стиле.

Урок 40. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 2

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 41. Изгнание из рая

Я узнаю и интерпретирую историю Анны Каменской об изгнании из рая.

Урок 42. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 3

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 43. Наш народ подобен дереву

Я узнаю и интерпретирую стихотворение Кшиштофа Камиля Бачиньского "Ты был как большое старое дерево...".

Урок 44. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 4

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 45. Взгляд репортера

Я узнаю и интерпретирую отрывок из репортажа Рышарда Капущинского "Як-нож".

Урок 46. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 6

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 47. В ответ на рекламу, то есть редактируем сопроводительное письмо

Я узнаю основные элементы и принципы написания сопроводительного письма и буду применять их при создании текста подобного характера.

Урок 48. Книга под огнем! - о различных обстоятельствах, связанных с получением показания

Я буду анализировать влияние обстоятельств на восприятие материала для чтения, улучшая мою способность распознавать проблемы исходного текста.

Урок 49. Поймет ли бабушка внучку?

Я буду практиковаться в характеристике устной и письменной речи, искать примеры текстов, характерных для обоих типов, и совершенствовать свою способность создавать официальные и неофициальные высказывания.

Урок 50. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 7

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

июнь

Урок 51. Об одном и том же говорим по-разному, или об архаизмах

Закреплю понятия архаизации и архаизма и улучшу умение определять функцию данного вида лексики в тексте.

Урок 52. О вдохновении и диалоге культурных текстов

Улучшу способность анализировать культурные тексты, объяснять их метафорический смысл, научусь видеть произведения искусства в пространстве своего города.

Урок 53. Быстрая повторка перед экзаменом - часть 8

Я буду решать упражнения на повторение перед экзаменом в восьмом классе.

Урок 54. Несколько слов о поэте и поэзии

Я узнаю и интерпретирую стихотворение Болеслава Лесмяна "Поэт".

Урок 55. Мир полон Одиссея, или Путь человеческая жизнь

Я буду осознавать преемственность между литературными текстами и между текстами и жизнью.

Урок 56. Любовь к Богу и любовь к человеку в поэзии Яна Твардовского

Я вспомню биографию отца Яна Твардовского, узнаю и интерпретирую его избранные стихи.

Урок 57. Мифологическая фразеология

Вспомню и узнаю словосочетания, заимствованные из мифологии, отредактирую письменное заявление
с использованием фразеологических соединений.

Урок 58. «Жизнь каждого человека как книга»

Я познакомлюсь и интерпретирую работы Иоанны Вишневской-Доманской «Пейзаж с белой книгой» и
Джузеппе Марии Крепси «Библиотека».

Урок 59. Отличное повторение грамматики!

Вспоминаю грамматические вопросы, изучаемые в начальной школе: логический и грамматический разбор предложений, словосочетаний, частей речи, стилистические средства.

Урок 60. О героизме во времена презрения

Я узнаю больше о трагическом поколении Второй мировой войны, познакомлюсь с фильмом Яна Комасы «Город 44».

Урок 61. Понедельник - я. вторник - я. Среда… Про автопортрет

Я узнаю разные способы рассказать о себе, в том числе автопортреты.

Урок 62. Письмо, стих или послание…?

Я узнаю и интерпретирую стихотворение Тадеуша Ружевича "Письмо к каннибалам".

Урок 63. Национальные стереотипы в контактах с другими

Познакомлюсь и интерпретирую текст Лешека Колаковского "О национальных стереотипах", рассмотрю правильность создания стереотипов.

Урок 64. Что может быть интереснее?

Буду практиковаться в написании собственных текстов в различных условностях.

Занятие 65. Как знание фонетических явлений влияет на правильность и эстетику разговорной речи?

Закреплю и расширим знания по фонетике и орфографии, обращая внимание на необходимость их практического использования, буду тренировать умение выразительной артикуляции, правильной расстановки ударений, распева и фразировки.

.

Геометрия - Medianauka.pl

Геометрия — раздел математики, изучающий геометрические фигуры и взаимосвязи между ними. Это одна из древнейших областей математики. Об этом уже говорили в древности. С ним связаны такие математики, как Пифагор, Евклид, Фалес и Аристотель. В школьном курсе мы видим только евклидову геометрию . Отказ от пятого постулата Евклида, гласящего, что на плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной прямой) привел к созданию новых геометрий (напр. Łobaczewski, Minkowski, которая использовалась для описания специальной теории относительности Эйнштейна), абсолютной и других).

Содержимое

Геометрия плоскости и пространства

Это введение в геометрию в нашем курсе, в котором мы рассмотрим основные понятия геометрии.

Планиметрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и отношения между ними на плоскости.

Эпизод
Что такое растяжка, расчет длины растяжки.
Полигон
Что такое ломаная линия и какие бывают виды ломаных линий? Параллельные прямые
Прямые параллельны, если они не имеют общей точки или совпадают.
Область рисунка
Как определить площадь геометрической фигуры? Свойства поля.

Стереометрия — раздел геометрии, изучающий геометрические фигуры и отношения между ними в пространстве.

Твердое тело
Определение фигуры и примеры фигур, которые являются и не являются телами. Том
Что такое Твердый объем? Основные формулы объема.

Здесь мы имеем дело с любым набором точек в n-мерном пространстве, то есть с геометрическими фигурами.Описаны основные виды геометрических фигур, рассмотрены их свойства как на плоскости, так и в пространстве.

Многоугольник
Определение многоугольника, типы многоугольников. Ненаправленный угол
Что такое непрямой угол, нулевой угол, половинный угол, полный угол. Смежные и при вершине углы. Окружность, окружность, дуга
Определения понятий, связанных с окружностью и эллипсом, основные теоремы об окружности. Площадь круга
Формула площади круга и длины круга.
Эллипс
Определение и свойства эллипса.
Треугольник
Определение треугольника, виды и особенности треугольников.

Прямоугольник
Что такое прямоугольник? Как вычислить диагональ прямоугольника? Квадрат
Квадрат – это параллелограмм, у которого все прямые углы и все стороны равны. Трапеция
Определение и теоремы для трапеций. Ромб
Определение и свойства ромба. Дельтовидная
Определение и свойства дельтовидной. Многогранник
Определение, свойства и сетка многогранника.
Куб
Определение, объем и площадь поверхности куба. Призма
Определение, объем и площадь поверхности призмы. Пирамида
Определение, объем и площадь поверхности пирамиды. Ролик
Определение, объем и площадь поверхности цилиндра.
Конус
Определение, объем и площадь поверхности конуса.

Векторы и векторное исчисление

Этот отдел занимается векторами. Вектор представляет собой упорядоченную пару точек. Концепция вектора и векторного исчисления играют значительную роль в аналитической геометрии, физике и многих других областях.

Вектор
Что такое вектор и каковы его свойства? Сумма векторов
Сложение векторов методом треугольника и параллелограмма.

Геометрические преобразования

Геометрические преобразования представляют собой отображение множества точек на плоскости или в пространстве на множество точек на плоскости или в пространстве соответственно. Именно здесь мы классифицируем типы преобразований и подходим к ним аналитически.Знания из этого раздела геометрии пригодятся, например, в компьютерной графике.

Прямоугольная проекция
Прямоугольная проекция является частным случаем параллельной проекции на прямую. Оборот
Что такое вращение на плоскости?

Тригонометрия — это раздел математики, изучающий отношения, существующие между длинами сторон треугольника и мерами его углов.Он также занимается определением значений тригонометрических функций и отношений между ними.

Почему горшки круглые?

Что заставляет нас видеть в продаже горшки с основанием в виде круга, а не, например, квадрата? Может, это просто привычка и удобство? Оказывается, причин несколько.

Сколько мы сэкономим в салоне при движении по кривым?

Сохраним ли мы дороги, двигаясь по внутренней полосе на поворотах? Теоретически мы должны пройти меньшее расстояние за одно и то же время, поэтому мы должны быстрее добраться до места назначения.Давайте проверим это.

© medianauka.pl, 2016-07-06, ART-3199


.

Математика для начальных классов, VI-VIII классы - дидактические доски 20 шт. Магазин FPN Ныса

Поисковая система

Бестселлеры

Новые продукты

Учебные доски

541.2

90 012

зл.

Математика для начальных классов, VI-VIII классы - дидактические доски 20 шт.

Набор из 20 обучающих досок 50см x 70см, включая:

  1. Теорема Пифагора.
  2. Четырехугольник, вписанный в окружность. Четырехугольник описанный на окружности.
  3. Многоугольник, заключенный в круг.
  4. Многоугольник, вписанный в окружность.
  5. Круг и круг.
  6. Углы в пирамиде.
  7. Вращающиеся твердые тела.
  8. Теорема Фалеса.
  9. Синус острого угла прямоугольного треугольника.
  10. Косинус острого угла прямоугольного треугольника.
  11. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника.
  12. Котангенс острого угла прямоугольного треугольника.
  13. Наборы точек на плоскости I.
  14. Наборы точек на плоскости II.
  15. Сумма внутренних углов треугольника.
  16. Сумма мер внутренних углов многоугольника.
  17. Множество действительных чисел и его подмножества.
  18. Уголки по окружности.
  19. Формулы сокращенного умножения.
  20. Определение функции.

Тележка

Войти

школьная мебель


Мы эксклюзив

является дистрибьютором компании

Фредериксен


Мы предоставляем комплексное оборудование:

физические лаборатории

химические лаборатории

биологические лаборатории

природные лаборатории


ГАЛЕРЕЯ РЕАЛИЗАЦИИ
Тематические лаборатории


Мы эксклюзив

является дистрибьютором компании

Cornelsen Experimenta

Скачать прайс-листы

учебные пособия

.

теорема Пифагора

Фрагмент дополнительного исследования с использованием теоремы Пифагора в младших классах средней школы.

ТЕОРЕМА

ПИТАГОРА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ГИМНАЗИИ

"...Я не верю в Наполеона!
Я верю в Пифагора, потому что он оставил
неопровержимую теорему.
До Пифагора я бил себя в лоб…»

Корнел Макушинский
"Сатана седьмого класса"

ВВЕДЕНИЕ

Начатая реформа системы образования основывает суть процесса на многовековой коммуникации и диагностике проблем, с которыми сталкивается современный человек.Учащиеся учатся видеть математические закономерности в окружающем мире и развивают практические навыки. Теорема Пифагора — одна из самых известных и любимых теорем студентов. Это доказал выдающийся греческий математик и философ, живший в VI веке до нашей эры, Пифагор Самосский.
Учебная программа по этому разделу доступна для 6-го класса начальной школы и 2-го класса неполной средней школы.
Целью этой статьи является показать применение теоремы Пифагора в различных математических задачах.В теоретической части работы я подробно рассмотрел греческого математика во главе пифагорейской школы, его заслуги и предполагаемое доказательство теоремы Пифагора.
Главы вторая и третья содержат примеры упражнений с решениями, план урока и тесты. Содержание заданий основано на достоверных данных из таких источников, как: школьные учебники, комплекты заданий, Интернет, энциклопедия.

Глава I. О теореме Пифагора

1.1 Пифагорейская школа

Пифагор родился ок.572 г. до н.э. на острове Самос в восточной ионийской колонии, а умер около 497 г. до н.э.. В возрасте около 40 лет он покинул Ионию, где сражался с персами, и отправился в Индию, где столкнулся с местными философскими и религиозными системами. . Пифагор был греческим математиком и философом, основателем философского направления, известного как пифагореизм, и специалистом в области астрономии. Он не оставил работ, и о его деятельности мало что известно. Трудно выделить открытие самого Пифагора среди открытий, сделанных его учениками и преемниками, известными как пифагорейцы.Именно в Кротоне около 530 г. до н.э. он основал философскую и религиозную школу. Пифагорейская школа, действовавшая на рубеже V и VI вв. до н.э., имела выдающихся представителей, в том числе Архита из Таранта, Тиматиоса из Локроя, Евдокса, Эхекрата из Флиунта, Эврита и других. Пифагорейцы участвовали в научном движении со школой Анаксагонца и Демокрита, а затем Платона и Аристотеля.

Заслуга пифагорейцев стала:

взгляда на двойственную природу человека,

а) исследования, составляющие начало и модель развития науки, увенчанные теориями в области астрономии
б) метафизические концепции, касающиеся теории чисел и гармонии мира,
в) исследования феномена акустики.

Учением пифагорейцев пользовались: комедийный писатель Эпихарм, скульптор Поликлет, основывавший свое изображение красоты человеческого тела на пифагорейском понятии симметрии и гармонии, Платон и астроном Гераклид Понтийский...

.

"Математические и литературные" мастерские

Это название («Прямо, налево, направо») присвоено моим «математико-литературным» мастер-классам в Математических Миколайках (6 декабря 2019 г.) при Национальном детском фонде. Фонд ищет и заботится о детях, которые исключительно одарены (в любой области). Статья представляет собой своего рода отчет об этих занятиях, и я написал ее в тот день, когда Ольга Токарчук получила Нобелевскую премию. Итак, я начну с литературы, с анализа стихов Ежи Харасимовича и Юлиана Тувима.

1. Прямая линия сворачивается в клубок.

Студенты не знали, что значит "написать что-то в дымоход". Они также не знали, какое отношение к этому имеют Пифагора . Ведь в теореме Пифагора упоминаются треугольники. Я объяснил, что роль Пифагора в европейской культуре заключалась в том, что он основал первую «школу». Пишу в кавычках, потому что это было нечто среднее между школой в современном понимании, монастырем, сектой и научным обществом.

«Человеку суждено исследовать мир» — так можно резюмировать послание, которое он оставил поколениям европейцев. Он оставил любопытство к миру и навязал исследования, которые можно было бы назвать научными. Размышление о собственном уме, о безграничности мира, о простых правилах геометрии, из которых возникают законы мира. Вот почему Ежи Харасимович включил Пифагора в свою поэму.

Трудно понять, почему прямая надоела и хочет завиться.Может быть, это ничего не значит, а может быть, поэт предвосхитил так называемое Теорема Барсука ?

Кароль Борсук (1905-1982) был выдающимся математиком, связанным с Варшавой. Одно из его последних математических открытий — теорема о погружении . Каждое пространство размерности n можно погрузить в маленький шар в пространстве n +1. На рис. 1 показано, что делать с прямой линией.

В свою очередь, Джулиан Тувим сам признался в тупой математике.Трудно поверить, но такое кокетливое отношение было полезно и раньше, и сейчас ("ничего не может - сам себе мужик!").

Однако во времена Тувима, в царской школе, математика сводилась к скучным вычислениям, в том числе алгебраическим и сложной геометрии. В процитированном стихотворении поэт определил свою позицию в средневековом споре об универсалиях . О чем был этот спор? Существуют ли в природе объекты математических исследований? А может их и нет в природе, а... ну где? В сознании людей? Если бы не было людей, то не было бы и прямых линий? И когда человечество вымрет, 7 останется простым числом?

Читатель, который смеется: зачем думать о чем-то подобном - будет прав.По крайней мере, в сегодняшнем рационализированном мире. Итак, на вышеупомянутом семинаре мы перешли к обсуждениям левой и правой стороны .

Справа налево или куда?

2. Моя прогулка по озеру Гибы.

Эта тема увлекла меня с того момента, как (много лет назад) мой друг сказал мне, что после выхода из автобуса я должен искать ее на правом берегу вытянутого озера. В частности, речь шла о небольшом озере Гибы в районе Сувалки.

у меня получилось как на схеме 2.Я ходил вокруг озера и нашел лагерь скаутов (где друг был сторожем), но только в месте, отмеченном крестиком. К моему удивлению, она ответила своим:

.

- А я сказал, что по правую сторону от озера - значит, у тебя будет по правую сторону озеро!

Геометрия отличается от арифметики большей долей интуиции. Ничего удивительного – пространственные образы формируются у нас с первых дней жизни, а в основе всех представлений лежат понятия «внутри» и «снаружи».

Здесь растет понятие расстояния, которое углубляется, когда ребенок начинает пересекать пространство своими шагами. Постепенно оно овладевает (а почти все мы были ребенком, как заявил Антони Фертнер в довоенном польском фильме «Забытая мелодия») последующие геометрические понятия: до-после, под-над, от-до, отсюда сюда. , через, рядом, между, сверху-снизу, снизу-сверху, спереди-сзади и, наконец, самое сложное: слева-направо. Как я уже говорил, мои ноги обнаружили это.Часто это связано с движением.

Когда на вопрос, где остановить машину, я слышу от жены "за тем красным бубубу" (не понимая последнего слова), то если "бубубу" означает другую машину, припаркованную на моей улице, то я его не обгоню, но я буду стоять как в кого-то в очереди. Однако, если это означает «за этим красным домом», я сделаю обратное: я пройду мимо этого дома, чтобы встать за ним — чтобы он был позади.

Ведя машину с второстепенной улицы и поворачивая направо, включаю правый поворотник.Но когда эта улица плавно перетекает в главную улицу, под небольшим углом - у меня возникают сомнения: налево или направо.

Когда еду с правого ряда на левый, то естественно поворачиваю на левый. И еще, для транспортных средств с приоритетом я въезжаю в их полосу справа. Обратите внимание, что хотя автомобильное зеркало (как и любое другое) поворачивается влево и вправо, я увижу мигающий сигнал поворота автомобиля, следующего за мной и пытающегося повернуть налево, с левой стороны!

Если я плыву на спине рядом с линией, разделяющей дорожки в бассейне, и линия у меня на левой руке, то я плыву по правой стороне.

Стрелка, указывающая вверх на слово «Гданьск», и стрелка, указывающая вниз на слово «Гданьск» над нашей полосой на шоссе, будут убеждать нас в том же: мы едем в Гданьск.

Вы когда-нибудь задумывались, Читатель, почему зеркало, в которое вы смотрите, когда бреетесь/наносите макияж, поворачивается влево и вправо, а не вверх и вниз?

Когда стропила на Дунаце говорят, что мы проедем опасные скалы справа, мы знаем, что оставим их слева. Однако, если он скажет, что «проезжаем Три Короны слева», мы тоже будем смотреть на левый берег.Сложно и нелогично, правда? Ничего удивительного: те, у кого был «в гору из школы в школу», не достигнут высот.

Большинство людей правши, но «только» большинство. Даже в моем детстве детей всегда заставляли писать правой рукой. В каждом языке «закон» ассоциируется с порядком и добром.

3. Задача про ходьбу в тумане.

В университетах есть юридические факультеты. У нас "левые" интересы, "левые" доходы. Избегайте босса, если он сегодня встал с левой ноги и вывернул рубашку наизнанку.Что-то не так с "в бочку" и к немецкому das Luft - воздух никакого отношения не имеет, только к английскому left или lyft, отсюда и немецкие ссылки.

Единственная хорошая ассоциация, которая приходит мне в голову при слове «левый», — это Роберт Левандовски, которого, как говорят, зовут «Леви». Мы не будем здесь обсуждать политику (левые и правые партии).

Фух. Мы знаем, что мы не совсем симметричны. Дело не во внутренних органах, а в самой внешности. Обычно у нас более сильная правая сторона, но иногда бывает по-другому.Вот поучительное задание.

4. Я, лошадь и река.

Упражнение 1. Я делаю шаг на 0,1 см длиннее правой ноги. Как будет выглядеть моя дорога на большой площади, в густом тумане, то есть если нет возможности визуальной коррекции?

Решение простое. Давайте посмотрим на цифру 3 . Когда мы не можем скорректировать направление марша своим зрением (например, туман на пустом месте), мы непроизвольно поворачиваемся после каждого шага. Предположим, мы делаем шаги в полметра, а расстояние между стопами равно 10 см.Составляем пропорцию: х/50=(х+10)/50,1.

Решит любой. Результат удивителен: x = 5000 см, значит, 50 м. Значит, достаточно разницы в длине шага в 1 мм, и мы будем делать круги диаметром 100 м и «никогда» не выберемся из этого замкнутого круга! Страшно, не так ли? Рассказы о путешествиях полны рассказов о путешественниках, которые время от времени натыкались на собственные следы.

5. Путешествие из пункта А в пункт Б может быть трудным…

Обсуждение правостороннего и левостороннего движения на семинарах было интересным, но коротким.Как спланировать операцию перехода на «встречку»? Это не просто теоретический вопрос. В 2009 году в штате Самоа ввели левостороннее движение (да-да, справа налево). Но это не тема для математического уголка.

"Слева и справа" - введение в "симметрию". Многие геометрические задачи решаются с помощью симметрии.

Наиболее известным является следующий. Я хочу проехать верхом из точки А в точку В (как на картинке 4) так, чтобы дорога была как можно короче и лошадь пила воду из реки.Задача с таким же математическим содержанием: из точки А хочу осветить точку Б , но между ними есть препятствие. К счастью, у меня есть зеркало...

6. Ортотреугольник как средство определения прямой.

В обоих случаях решение одно и то же: точку B симметрично отражаю относительно прямой, соединяю A прямой линией с B 1 и определяю точку C . Это место, где лошадь будет пить воду, или точка, куда я направлю луч света от A до B .

Ситуация усложняется, когда препятствие между точками большое (5).

Идея "давайте задумаемся симметрично и все упростится" используется во многих геометрических задачах. Здесь только одно.

Задача 2. На сторонах треугольника выбираем точки P , Q , R , по одной с каждой стороны. Как сделать так, чтобы треугольник PQR имел наименьшую длину окружности?

Решение так называемое орфического треугольника , т.е. такого, что точки P , Q , R являются блюдцами трех высот треугольника.Гениальное доказательство показано на рис. 6. Мы отразим треугольник несколько раз. Ортотреугольник образует прямую (правильнее: отрезок) — и это кратчайший путь между двумя точками.

Лестница Джульетты к спирали Архимеда

7. Лестница Джульетты.

Участниками занятий, о которых я пишу, были ученики (16 мальчиков и одна Юля) 7-8 классов начальных классов. Таким детям не следует утомлять слишком высокой математикой. Кстати, кого можно надоесть? Я оставлю этот вопрос без ответа.Я дал своим ученикам задание о лестнице. Не все знали, почему лестницы в средневековых замках почти всегда были левосторонними. На таких лестницах правшам легче защищаться от нападающих снизу.

Во время занятий из кубиков Lego нужно было построить устойчивые левые и правые лестницы на небольшом основании. Понятие устойчивости лестницы вызвало дискуссию.

Помню, когда на втором курсе мы "рассчитывали лестницы" - их прочность. Для этого есть формулы, но мы хотели проверить их математически.На занятиях в нашей мастерской Юля лучше всех сделала лестницу - позаботилась об устойчивости и эстетическом подборе цветов (7). Мальчики были бессистемными и пестрыми.

8. Левосторонняя спираль Архимеда.

Математический вопрос, связанный с лестницей, кажется очевидным: сколько блоков нужно, чтобы построить лестницу на n-й этаж? Ответ довольно прост - посчитаем высоты следующих баров. У нас есть суммы последовательных чисел 1 + 2 + 3 + и так далее.

Если мы воспользуемся базой, которую взяла Джулия, то сможем устроить лестницу на одиннадцатый этаж.Сумму последовательных чисел от 1 до 11 посчитать несложно, и "умный" способ такой: под суммой пишем второе, то же самое, только в обратном порядке:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 90 167 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Одиннадцать баров

(1 + 11 = 2 + 10 = 3 + 9 и т. д.), всего 12. Вам просто нужно умножить 11 на 12, чтобы получить двойную сумму, которую мы вычисляем. Результат 66.

9. Трехвитковая спираль.

Математически самой интересной задачей было построить из блоков спираль Архимеда.На рисунках 8 и 9 мы имеем левые катушки - "настоящие", т.е. такие же, как катушки на граммофонной пластинке, и составленные из прямоугольных блоков.

Конечно, теоретически обе спирали уходят в бесконечность. Можно увидеть, что характерно для спирали Архимеда - одинаковое расстояние между следующими витками. Именно поэтому такая спираль подходит для музыкальных пластинок — виниловых пластинок, разумеется, которые возвращаются в обиход.

Упражнение 3. Сделайте левую и правую «квадратную» спираль.Начните, как показано на рис. 9. Цвета повторяются в показанном шаблоне. Какого цвета катушка №2020? Какого цвета угловые квадраты? Откройте правило. Сколько блоков нужно для спирали с n витками?

10. Спираль Архимеда.

Нумеруем блоки по спирали. Черный квадрат имеет номер 1, затем идут синие 2, 3, желтые 4, 5, 6 и так далее (10).

Какого цвета кирпич с номером 2020? А кирпич с номером 10000?

Сколько блоков каждого цвета вам нужно для спирали из ста витков? Также откройте общее правило (т.е.для спирали с n витками).

Обратите внимание, что белые прямоугольники на этом рисунке также образуют спираль. Это левша или правша? ОСТАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ о спирали выполните самостоятельно. Решите их.

У нас закончилось время на занятиях... и место в этой статье для решения этих задач.

Михал Шурек

.

Новый учебный год по новым правилам. Это самые важные изменения в учебной программе

.

После реформы ПиС, которая сейчас вступает в силу, количество учебных часов в школе будет сокращено.Самой большой проблемой станут ученики 5, 6 и 7 классов, которые, которые последние два года обучались по старым правилам, будут втянуты в новую систему.

Реформа образования - увольнения учителей / Дзенник Газета Правна

По новым правилам школу закончат те, кто пошел в 4-й класс.В этом году они будут учиться на основе новой основной учебной программы, которую они продолжат в VIII классе.

Ученики 5 и 6 классов продолжают учиться по старой схеме, предполагавшей существование шестилетней школы и трехлетней гимназии.

Новую основу они изучают только в седьмом классе, что уже предусмотрено восьмиклассной начальной школой.Также обучение по новой программе получат новоиспеченные учащиеся 7-х классов.

Реформа предполагает, что в математике не будет, в том числе,в. возведение в степень и применение теоремы Пифагора к вычислениям в геометрии окружности. В биологии сократится содержание генетики. В истории не будет подробного обсуждения античности, раннего периода Пястов, деления на районы, польско-литовского союза или польско-тевтонских отношений в 15-м и 16-м веках и правления Стефана Батория.

>>> Читайте также: Окончание дипломных работ.Будет

экзамена

Главная проблема в истории - это полная смена методики - теперь ученики 6-х классов заканчивали свое образование на Великой Отечественной войне.В младших классах школы снова обсуждали материал, начиная с античности - но уже в углубленной форме. Теперь обучение будет проходить последовательно - от древности до вступления Польши в Евросоюз, без повторений.

>>> Рекомендуем: Smyk: Вы хотите, чтобы ваш ребенок учился лучше? Дайте ему взятку, только высокую [МНЕНИЕ]

.90 000 Различные способы доказательства теоремы Пифагора: примеры, описания и обзоры 90 001

В одном можно быть уверенным на все сто процентов, так это в том, что на вопрос, чему равен квадрат гипотенузы, любой взрослый человек смело ответит: «Сумма квадратов катетов». Это утверждение прочно засело в сознании каждого образованного человека, но достаточно попросить кого-нибудь доказать его, и могут возникнуть трудности. Поэтому вспомним и рассмотрим различные способы доказательства теоремы Пифагора.

Обзор биографии

Теорема Пифагора известна почти всем, но биография человека, ее выдвинувшего, почему-то не так популярна. Это можно исправить. Поэтому, прежде чем изучать различные методы доказательства теоремы Пифагора, необходимо вкратце познакомиться с его личностью.

Пифагор - философ, математик, мыслитель Древней Греции. Сегодня очень сложно отличить его биографию от легенд, которые сложились в память об этом великом человеке.Но, согласно работам его последователей, Пифагор Самосский родился на острове Самос. Его отец был обычным каменным ножом, а вот мать происходила из знатного рода.

Согласно легенде, рождение Пифагора было предсказано женщиной по имени Пифия, в честь которой он назвал мальчика. По ее предсказаниям, родившийся мальчик должен принести много пользы и добра человечеству. Что он сделал на самом деле.

Рождение теоремы

В юности Пифагор переехал с Самоса в Египет, чтобы встретиться со знаменитыми египетскими мудрецами.После знакомства с ними ему разрешили учиться, где он познал все великие достижения египетской философии, математики и медицины.

Вероятно, в Египте Пифагор вдохновился статностью и красотой пирамид и создал свою великую теорию. Это может шокировать читателей, но современные историки считают, что Пифагор не доказал свою теорию. Но свои знания он передал только своим последователям, которые впоследствии выполнили все необходимые математические расчеты.

Во всяком случае, сегодня неизвестно.способ доказательства этой теоремы, а сразу несколько. Сегодня остается только догадываться, как именно древние греки производили свои расчеты, поэтому здесь мы рассмотрим разные способы доказательства теоремы Пифагора.

Теорема Пифагора

Прежде чем приступать к каким-либо вычислениям, нужно выяснить, какую теорию нужно доказать. Теорема Пифагора гласит: «В треугольнике, где один из углов равен 90 на , сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы».

Существует 15 различных способов доказать теорему Пифагора. Это довольно большое количество, поэтому мы обратим внимание на самые популярные из них.

Первый способ

Сначала мы отмечаем то, что нам дают. Эти данные применимы и к другим методам доказательства теоремы Пифагора, поэтому стоит сразу же запомнить все доступные обозначения.

Предположим, что дан прямоугольный треугольник с катетами a, b и гипотенузой c. Первый метод доказательства состоит в том, что квадрат должен быть составлен из прямоугольного треугольника.

Для этого надо иметь длину катета и провести отрезок равный катету и наоборот. Значит, у квадрата должны быть две равные стороны. Осталось только провести две параллельные линии и квадрат готов.

Внутри полученной фигуры нужно нарисовать еще один квадрат со стороной, равной гипотенузе исходного треугольника. Для этого из вершин ac и cv проводим два параллельных отрезка, равных c.Таким образом, мы получаем три стороны квадрата, одна из которых является гипотенузой исходных прямоугольных треугольников.Осталось только нарисовать четвертый сегмент.

Из полученного числа можно сделать вывод, что площадь внешнего квадрата равна (a + b) 2 . Если вы заглянете внутрь фигуры, то увидите, что помимо внутреннего квадрата в ней есть еще четыре прямоугольных треугольника. Площадь каждого из них равна 0,5av.

Следовательно, площадь равна: 4 * 0,5av + s 2 = 2av + s 2

Отсюда (a + c) 2 = 2av + s 2 9000 Следовательно, 2 9024

9000 a 2 + w 2

Эта теорема доказана.

Второй метод: подобные треугольники

Эта формула доказательства теоремы Пифагора была получена из утверждения из разделов геометрии с подобными треугольниками. В нем говорится, что катет прямоугольника треугольника пропорционален его гипотенузе и отрезку гипотенузы, начинающемуся с вершины угла 90 на .

Исходные данные остались прежними, поэтому начнем с доказательства. Нарисуйте сегмент, перпендикулярный стороне AB светодиода. Исходя из вышеизложенного, катеты треугольников равны:

АС = √ AB * АД, CB = √ AB * DW.

Чтобы ответить на вопрос, как доказать теорему Пифагора, нужно представить доказательство путем приравнивания обоих неравенств.

АС 2 = АВ * АД и СВ 2 = АВ * ЛВ

Теперь нужно просуммировать полученные неравенства.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), где АД + ДВ = АВ

Получается, что:

АС 2 + СВ 2 0 0 АВ *09024 = Итак:

AC 2 + NE 2 = AB 2

Доказательство теоремы Пифагора и различные методы ее решения требуют комплексного подхода к этой проблеме.Однако этот вариант является одним из самых простых.

Другой метод расчета

Описание различных способов доказательства теоремы Питагор ничего не может сказать, пока вы не начнете практиковаться самостоятельно. Многие методы включают в себя не только математические расчеты, но и построение новых фигур из исходного треугольника.

В этом случае необходимо построить еще один прямоугольный треугольник IRR из плоского катета. Итак, теперь есть два треугольника с общим катетом.

Зная, что площади таких фигур связаны как квадраты их подобных линейных размеров, они равны:

S avs * of 2 - s avd * w 9023 2 = S 9 2 - S VSD - S VSD * A 2

S AVS * (от 2 -W 2 ) = A 2 * (S AVD 90 120-S VSD )

из 2 -W 2 = A 2 = A 2

2 = A 2 + W 2 + W 2

Как этот вариант не подходит для восьмого класса от различной теоремы Pythagorean Preject методы, мы можем применить следующую методологию.

Самый простой способ доказать теорему Пифагора. Отзывы

По мнению историков, этот метод был первым, использованным для доказательства теоремы в Древней Греции. Он самый простой, так как не требует абсолютно никаких расчетов. Если вы начертите рисунок правильно, то доказательство утверждения о том, что 2 + в 2 = s 2 , будет хорошо видно.

Условия для этого метода будут немного отличаться от предыдущего. Для доказательства теоремы предположим, что прямоугольный треугольник ABC равнобедренный.

Примем гипотенузу AC за сторону квадрата, субсидируем три сущности. Кроме того, в получившемся квадрате необходимо провести две диагональные линии. Итак, чтобы в центре получилось четыре равнобедренных треугольника.

Для ветвей АВ и СВ также нужно начертить квадрат и провести в каждой из них по одной диагональной линии. Первую линию проводим из вершины А, вторую - из С.

Теперь нужно внимательно посмотреть на получившийся рисунок. Так как на гипотенузе AS лежат четыре треугольника, равные исходному, а на катетах два, это указывает на истинность данной теоремы.

Кстати, благодаря этой методике доказательства теоремы Пифагора родилась знаменитая фраза: «Пифагорейские штаны равны во всех направлениях».

Свидетельство Дж. Гарфилда

Джеймс Гарфилд — двадцатый президент Соединенных Штатов Америки. Помимо того, что он оставил свой след в истории как правитель Соединенных Штатов, он также был одаренным самоучкой.

В начале своей карьеры он был обычным учителем в государственной школе, но вскоре стал ректором университета.Стремление к саморазвитию позволило ему предложить новую теорию доказательства теоремы Пифагора. Теорема и пример ее решения таковы.

Сначала нужно нарисовать на листе бумаги два прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Вершины этих треугольников должны быть соединены, чтобы образовать трапецию.

Как известно, площадь трапеции равна произведению половины суммы ее оснований на высоту.

S = a + b / 2 * (a + b)

Если рассматривать получившуюся трапецию как фигуру, состоящую из трех треугольников, то ее площадь можно найти следующим образом:

S = AB / 2 * 2 + s 2 /2

Теперь нужно выровнять два исходных выражения

2av / 2 + s / 2 = (a + c) 2 /2

of 2 = a

4 + 2

О теореме Пифагора и методах ее доказательства можно написать не один том учебника.Но есть ли смысл, когда эти знания нельзя применить на практике?

Практическое применение теоремы Пифагора

К сожалению, в современных школьных программах применение этой теоремы предусмотрено только в геометрических задачах. Выпускники скоро покинут школу, так и не зная, как применить свои знания и навыки на практике.

На самом деле, используйте теорему Пифагора во всем, что вы можете сделать в своей повседневной жизни. И не только в профессиональной деятельности, но и в обычных домашних делах.Рассмотрим несколько случаев, когда теорема Пифагора и методы ее доказательства могут оказаться крайне необходимыми.

Связь между теоремами и астрономией

Кажется, на бумаге можно соединить звезды и треугольники. На самом деле астрономия — это научная область, в которой широко используется теорема Пифагора.

Например, рассмотрим движение луча света в пространстве. Известно, что свет распространяется в обоих направлениях с одинаковой скоростью. Это называется траекторией АВ, по которой луч света проходит l . I называется половиной времени, которое требуется свету, чтобы добраться из точки A в точку B. t . Скорость I луча - c . Получается, что: c * t = l

Если посмотреть на этот луч с другой плоскости, например, с космического лайнера, движущегося со скоростью v, то при таком взгляде на тела их скорость изменится. В этом случае даже неподвижные элементы начнут двигаться со скоростью v в противоположном направлении.

Допустим, самолет из комиксов движется вправо. Тогда точки А и В, между которыми отмечен луч, начнут двигаться влево. Кроме того, когда луч перемещается из точки A в точку B, точка A перемещается, и поэтому свет достигает новой точки C. Чтобы найти половину расстояния, на которое переместилась точка A, умножьте линейную скорость на половину времени прохождения луча (t ").

d=t"*v

Чтобы найти расстояние светового луча в это время, нужно найти половину пути нового бука и получить следующее выражение:

s=c*t"

Если вы представляете, что точки света - это С и В, а также Так как космическая вставка есть вершина равнобедренного треугольника, то отрезок от точки А до вставки разделит его на два прямоугольных треугольника.Поэтому благодаря теореме Пифагора можно узнать расстояние, которое мог бы пройти луч света.

из 2 = l 2 + d 2

Этот пример, очевидно, не самый удачный, так как лишь немногим посчастливится испытать его на практике. Поэтому рассмотрим более приземленные варианты применения этого утверждения.

Радиус прохождения мобильного сигнала

Современную жизнь невозможно представить без смартфонов.Но что было бы толку, если бы они не могли подключать абонентов через мобильную связь?

Качество мобильной связи напрямую зависит от высоты антенны оператора сотовой связи. Чтобы рассчитать, как далеко ваш телефон может принимать сигнал от движущейся вышки, вы можете применить теорему Пифагора.

Предположим, вам нужно найти примерную высоту стационарной вышки, чтобы она распространяла сигнал в радиусе 200 километров.

AB (высота башни) = x;

БК (радиус передачи сигнала) = 200 км;

SA (радиус земного шара) = 6380 км;

Отсюда

OB = OA + ABOW = r + x

Используя теорему Пифагора, находим, что минимальная высота башни должна быть 2,3 километра.

Теорема Пифагора в повседневной жизни

Как ни странно, теорема Пифагора может быть полезна даже для работы по дому, например, для определения высоты шкафа. На первый взгляд нет необходимости использовать такие сложные расчеты, так как можно просто снять мерки рулеткой. Но многие удивляются, почему в процессе сборки возникают какие-то проблемы, если все замеры сделаны более чем точно.

Дело в том, что шкаф будет находиться в горизонтальном положении, и только потом поднимается и устанавливается на стену. Поэтому боковая стенка шкафа при подъеме конструкции должна свободно проходить как по высоте, так и по диагонали в помещении.

Предположим, у вас есть раздвижной шкаф глубиной 800 мм. Расстояние от пола до потолка 2600 мм. Опытный производитель мебели скажет вам, что высота шкафа должна быть на 126 мм меньше высоты комнаты. Но почему именно 126 мм? Рассмотрим пример.

При идеальных размерах шкафа проверяем действие теоремы Пифагора:

АС = √АВ 2 + √ВС 2

АС = √2474 2 +8032 9 - все совпадает.

Предположим, высота шкафа не 2474 мм, а 2505 мм. Тогда:

АС = √2505 2 + √800 2 = 2629 мм.

Поэтому этот шкаф не подходит для установки в этом помещении. Потому что поднятие его в вертикальное положение может повредить его тело.

Пожалуй, рассмотрев разные методы доказательства теоремы Пифагора разных ученых, можно сделать вывод, что она более чем верна. Теперь вы можете использовать полученную информацию в повседневной жизни и иметь полную уверенность, что все расчеты будут не только полезными, но и правильными.

.

Смотрите также