Post Icon



Значок больше и меньше в математике


Математика для блондинок: Знак больше и меньше

Здесь мы рассмотрим элемент математического неравенства, при помощи которого в математике обычно выражается несправедливость. Если знак равенства можно считать отражением справедливости, то знаки "больше" и "меньше" отражают отсутствие таковой. Справедливость - это понятие относительное. То, что я считаю справедливым по отношению к вам, вы можете считать не справедливым по отношению к себе. И наоборот. То, что считаете справедливым вы, другие могут называть вопиющей несправедливостью. Каждый смотрит со своей колокольни. В математике всё это можно выразить при помощи знаков "больше" и "меньше".

Наблюдая за процессом сравнения со стороны, мы будем получать разные результаты в зависимости от того, в каком порядке мы выполняем сравнение. Небоскреб БОЛЬШЕ хибарки. Хибарка МЕНЬШЕ небоскреба. Как видите, результат сравнения зависит от того, что мы ставим на первое место при сравнении.

В математике неравенство возникает из-за того, что при записи математических выражений принят определенный порядок выписывания символов на бумаге. При этом один из символов обязательно будет на первом месте, второй символ - на втором. Это приводит к определенному результату при сравнении того, что эти символы обозначают. Если мы изменим порядок записи символов, то есть второй символ запишем на первом месте, а первый - после него, тогда у нас изменится результат сравнения. Математики очень удачно подобрали графические символы для обозначения понятий "больше" и "меньше". Вот так выглядят знаки БОЛЬШЕ и МЕНЬШЕ в математике.

Знаки больше и меньше

Есть разные уловки для запоминания этих знаков. Вот один из способов, как запомнить знаки больше и меньше.

Что такое неравенство? Это почти то же самое, что и уравнение, только вместо знака "равно" ставится знак "больше" или "меньше". Решаются они практически одинаково. Единственное, о чем нужно помнить при решении неравенств, что знаки "больше" и "меньше" могут выворачиваться на изнанку, а знак равенства - нет. Собственно, знак равенства тоже можно вывернуть, но никаких отличий вы не увидите. Другое дело со знаками "больше" и "меньше". Если такой знак вывернуть на изнанку, тогда его нос будет смотреть в другую сторону. Знак "больше" превратится в знак "меньше", знак "меньше" превратится в знак "больше".

Никакой шаманской магии в этом нет. Обыкновенная относительность или, как её ещё называют в математике, зеркальная симметрия. Посмотрите на рисунок ниже.



Нижняя половина рисунка является зеркальным отражением верхней половины. Или наоборот. Теперь возьмите зеркало. Приставьте его перпендикулярно к экрану монитора так, чтобы одновременно видеть картинку на экране монитора и её отражение в зеркале. В зеркале нижняя и верхняя половины картинки поменяются местами. Если бы не надпись на картинке "математика для блондинок", то вообще нельзя было бы точно сказать, где сама картинка, а где её отражение. Кстати, применение на уроках математики прозрачной стеклянной доски, вращающейся вокруг вертикальной оси, поможет понять очень многие вещи в математике.

Так вот, если мы в математическом неравенстве меняем местами левую и правую части неравенства, то знак меняется на противоположный. Знак "больше" меняется на знак "меньше" и наоборот. То же самое происходит, когда мы умножаем всё неравенство на минус единицу. При этом меняются все знаки в левой и правой частях неравенства. Умножение на минус единицу мы можем использовать при решении неравенств.

Нужно помнить, что если мы переносим всего один элемент из одной части неравенства в другую и при этом МЕНЯЕМ ЗНАК "плюс" или "минус", то знак неравенства "больше" или "меньше" остается неизменным. Всё, как в уравнении. Если при переносе математического элемента через знак сравнения мы изменяем знак, результат сравнения не изменяется: равенство сохраняется, знак "больше" остается знаком "больше", знак "меньше" остается знаком "меньше".

Знаки больше и меньше — как объяснить знаки неравенства дошкольнику

Работа с ребенком дошкольного возраста — важнейший этап подготовки к дальнейшим учебным нагрузкам. Не заложив фундамент знаний, придется столкнуться со сложностями дальше. После изучения цифр пора приступать к знакам «больше», «меньше» и «равно». Ниже изложены способы, которые могут помочь ребенку запомнить математические символы.

Способ «Голодная птичка»

Нарисуйте птицу или для большей красочности распечатайте изображение на принтере. Рассказ начинается с небольшой истории: «Эта маленькая птичка обожает много кушать. Она всегда выбирает ту кучку, где больше еды».

Далее вам требуется наглядно показать ребенку, что птица открывает клюв в сторону, где предметов больше.

Примеры можно разнообразить, заменив клюв птицы пастью крокодила, щуки, льва либо иного хищника по тому же сценарию.

Но не стоит забывать о случаях, когда количество сравниваемых предметов равное. Если дошкольник заметил — обязательно похвалите, а затем покажите две равные полоски, объяснив, что они столь же одинаковы, как и число предметов по обе стороны. Поэтому знак и называют «равно».

При помощи пальцев

Следующий легкий для понимания ребенка способ — с помощью своих рук. Сложите большой и указательный пальцы правой руки так, чтобы получился уголок — это знак «больше». Проделайте те же действия с левой рукой, чтобы образовать знак «меньше».

Метод более удобен, поскольку ребенку требуется лишь запомнить, какая рука чему соответствует. Дальше в школе ученику будет проще ориентироваться. На начальном этапе можно нарисовать на руках фломастером буквы «Б» и «М» соответственно.

Знак «равно» зачастую не вызывает никаких сложностей у детей для запоминания, поэтому достаточно закрепить результат упражнениями, которые будут приведены дальше.

Графический способ

Данный метод подойдет тем, кто уже прошел обучение одним из вышеперечисленных способов и хорошо ориентируется. Не рекомендуется начинать с него изучение ребенку дошкольного возраста.

Суть заключается в том, что нужно на листе бумаги нарисовать знаки «>» и «<» достаточно большого размера. В первом случае если смотреть слева, то расстояние между линиями достаточно большое — значит, это и есть символ «больше». У второго знака расстояние с левой стороны маленькое, соответственно это и есть «меньше».

Упражнения для закрепления результатов

Чтобы закрепить результат, следует творчески подойти к подбору заданий. Будущий школьник намного охотнее станет применять полученные знания, если не будет осознавать, что это задание.

Предлагаем попрактиковаться на улице, сравнивания предметы: деревья, кусты, цветы, прохожих, животных. В качестве знаков используйте веточки или палочки от мороженного.

Но и дома можно устроить интересные игры. Например, в процессе мытья посуды поставьте на стол перед ребенком две стопки тарелок и попросите показать, какой знак должен стоять между ними. В процессе мытья продуктов разделите их на две группы и снова предложите ребенку определить неравенство. Игровой процесс рекомендуется проводить несколько раз в течение дня, чтобы лучше запомнить.

Для любителей конструктора «Лего» тоже имеется способ практики: создайте две башни с разным количеством деталей, предварительно распечатав либо нарисовав и вырезав знаки «>», «<» и «=». Ребенку требуется поставить правильный знак между башнями.

Когда дошкольник уже достаточно освоится в игре, старайтесь не помогать, если не наблюдается серьезных затруднений, оставляйте минуту-две для размышлений.

Предлагаем решить 5 логико-математических заданий.

  1. «Поставь правильный знак»: представлены пары простых чисел, между которыми требуется вписать нужный знак. Например, 4 … 8 либо 2 … 10 (поставить знак «меньше»), 5 … 3 или 8 … 7 (знак «больше»).
  2. «Какое число пропущено?»: стоят знаки и число с одной стороны. Ребенок должен догадаться, чем можно заменить пропуск. Например: … < 3 (можно подставить 1, 2 или 0), 4 < … (можно поставить 5, 6 и так далее).
  3. «Как поменять цифры, чтобы неравенство стало правильным? » Перед ребенком расположен рисунок, где висят 4 шарика с одной стороны и 2 с другой. Между ними знак «<». Что требуется поменять, чтобы символ стоял правильно?
  4. «Откуда убежал предмет?» Справа нарисовано 4 треугольника, а слева — 3 квадрата, между ними стоит знак «=». Какой фигуры не хватает, чтобы равенство было верным?
  5. «Больше-меньше». Нарисуйте на листе арбуз и клубнику, бабочку и самолет, дерево и листок. Ребенку нужно показать, какой должен стоять знак.

Изучив рекомендации, вы сможете без проблем помочь своему ребенку освоить необходимый материал, а благодаря примерам будет проще определить, насколько хорошо усвоено обучение.

Математика и логика для детей 7-13 лет

Развиваем логическое мышление через решение сюжетных математических задач в интерактивном игровом формате

узнать подробнее

Как поставить знаки больше или равно (≥) и меньше или равно (≤)

Знаки больше или равно и меньше или равно — математические знаки неравенства.

Знаки больше или равно и меньше или равно на клавиатуре в Windows

  Есть несколько вариантов написания знаков: ⩽ и ⩾, ≤ и ≥, ≦ и ≧ 

На клавиатуре клавиш со знаками нет, поэтому для их написания в Ворде применяются различные методы:

  • сочетания клавиш Alt + Num;
  • сочетания клавиш Alt + X;
  • символы Word;
  • символы Windows.

Сочетание клавиш Alt + Num

1. Для написания знака ⩾ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 1 0 8 7 8. Отпустите Alt — получится знак ⩾.

Для написания знака ⩽ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 1 0 8 7 7. Отпустите Alt — получится знак ⩽.

Обратите внимание, 1-й вариант знаков не отображается в некоторых браузерах.

2. Для написания знака ≥ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 8 8 0 5. Отпустите Alt — получится знак ≥.

Для написания знака ≤ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 8 8 0 4. Отпустите Alt — получится знак ≤.

3. Для написания знака ≧ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 8 8 0 7. Отпустите Alt — получится знак ≧.

Для написания знака ≦ следует одной рукой нажать клавишу Alt и, удерживая её, другой рукой ввести на клавиатуре цифры 8 8 0 6. Отпустите Alt — получится знак ≦.

Сочетание клавиш Alt + X в Microsoft Word

1. В месте знака ≥ напечатайте 2265, переведите клавиатуру на английскую раскладку и нажмите одновременно Alt и X — появится знак больше или равно.

В месте знака ≤ напечатайте 2264, переведите клавиатуру на английскую раскладку и нажмите одновременно Alt и X — появится знак меньше или равно.

2. В месте знака ≧ напечатайте 2267, переведите клавиатуру на английскую раскладку и нажмите одновременно Alt и X — появится знак больше или равно.

В месте знака ≦ напечатайте 2266, переведите клавиатуру на английскую раскладку и нажмите одновременно Alt и X — появится знак меньше или равно.

Для ноутбуков, у которых на клавиатуре нет цифрового блока, нужно дополнительно нажать клавишу Fn и использовать функциональные клавиши с цифрами.

Знаки ≥, ≧, ≤, ≦ в символах Word

Устанавливаем курсор в нужное место текста → вкладка Вставка → Символ → Другие символы… → Набор: математические операторы. Выделяем символ больше или равно или меньше или равно → Вставить.

Знак в таблице символов Windows

Открываем программу символов. Для её вызова нажимаем Пуск → Выполнить → charmap.exe → ОК.

В окне таблицы найдите значок больше или равно и меньше или равно. Выделите его, нажмите кнопку Выбрать и Копировать.

Остаётся лишь вставить символ в нужное место сочетанием клавиш Ctrl и V.

Как набрать знаки больше или равно и меньше или равно на клавиатура в Mac

Больше или равно ≥ — ⌥ и >

Меньше или равно ≤ — ⌥ и

Вёрстка знаков больше или равно и меньше или равно

  // html ≤ &le; или &#8804; // html ≥ &ge; или &#8805; // html ≦ &#8806; // html ≧ &#8807;  

Знаки ⩽ и ⩾, ≤ и ≥, ≦ и ≧ отбивают от смежных символов и чисел пробелом.

  Правильно: 5 ≥ 4 Неправильно: 5≥5  

Меньше или равно обозначение. Как пишется знак больше и знак меньше? Математические знаки в текстовом редакторе

Как известно, математика любит точность и краткость - недаром одна-единственная формула может в словесной форме занимать абзац, а порой и целую страницу текста. Таким образом, графические элементы, используемые во всем мире в науке, призваны увеличить скорость написания и компактность представления данных. Кроме того, стандартизованные графические изображения может распознать носитель любого языка, имеющий базовые знания в соответствующей сфере.

История математических знаков и символов насчитывает много столетий - некоторые из них были придуманы случайным образом и предназначались для обозначения иных явлений; другие же стали продуктом деятельности ученых, целенаправленно формирующих искусственный язык и руководствующихся исключительно практическими соображениями.

Плюс и минус

История происхождения символов, обозначающих простейшие арифметические операции, доподлинно неизвестна. Однако существует достаточно вероятная гипотеза происхождения знака «плюс», имеющего вид перекрещенных горизонтальной и вертикальной черт. В соответствии с ней символ сложения берет начало в латинском союзе et, который переводится на русский язык как «и». Постепенно, с целью ускорения процесса записи, слово было сокращено до вертикально ориентированного креста, напоминающего букву t. Самый ранний достоверный пример подобного сокращения датируется XIV веком.

Общепринятый знак «минус» появился, по всей видимости, позже. В XIV и даже XV веке в научной литературе использовался целый ряд символов, обозначающих операцию вычитания, и лишь к XVI веку «плюс» и «минус» в их современном виде стали встречаться в математических трудах вместе.

Умножение и деление

Как ни странно, математические знаки и символы для этих двух арифметических действий не полностью стандартизованы и сегодня. Популярным обозначением умножения является предложенный математиком Отредом в XVII веке диагональный крестик, который можно увидеть, например, на калькуляторах. На уроках математики в школе ту же операцию обычно представляют в виде точки - данный способ предложил в том же веке Лейбниц. Ещё один способ представления - звёздочка, которая наиболее часто используется при компьютерном представлении различных расчётов. Использовать её предложил всё в том же XVII веке Иоганн Ран.

Для операции деления предусмотрены знак наклонной черты (предложен Отредом) и горизонтальная линия с точками сверху и снизу (символ ввел Иоганн Ран). Первый вариант обозначения является более популярным, однако второй также достаточно распространен.

Математические знаки и символы и их значения порой изменяются во времени. Однако все три способа графического представления умножения, а также оба способа для деления являются в той или иной степени состоятельными и актуальными на сегодняшний день.

Равенство, тождество, эквивалентность

Как и в случае многих других математических знаков и символов, обозначение равенства изначально было словесным. Достаточно продолжительное время общепринятым обозначением служило сокращение ae от латинского aequalis («равны»). Однако в XVI веке математик из Уэльса по имени Роберт Рекорд предложил в качестве символа две горизонтальные прямые, расположенные друг под другом. Как утверждал ученый, нельзя придумать ничего более равного между собой, чем два параллельных отрезка.

Несмотря на то что аналогичный знак использовался для обозначения параллельности прямых, новый символ равенства постепенно получил распространение. К слову, такие знаки как «больше» и «меньше», изображающие развернутые в разные стороны галочки, появились лишь в XVII-XVIII веке. Сегодня же они кажутся интуитивно понятными любому школьнику.

Несколько более сложные знаки эквивалентности (две волнистые линии) и тождества (три горизонтальные параллельные прямые) вошли в обиход лишь во второй половине XIX века.

Знак неизвестного - «Икс»

История возникновения математических знаков и символов знает и весьма интересные случаи переосмысления графики по мере развития науки. Знак обозначения неизвестного, именуемый сегодня «иксом», берет своё начало на Ближнем Востоке на заре прошлого тысячелетия.

Ещё в X веке в арабском мире, славящемся в тот исторический период своими учеными, понятие неизвестного обозначалось словом, буквально переводящимся как «нечто» и начинающимся со звука «Ш». С целью экономии материалов и времени слово в трактатах стало сокращаться до первой буквы.

Спустя многие десятилетия письменные труды арабских ученых оказались в городах Пиренейского полуострова, на территории современной Испании. Научные трактаты стали переводиться на национальный язык, но возникла трудность - в испанском отсутствует фонема «Ш». Заимствованные арабские слова, начинающиеся с неё, записывались по особому правилу и предварялись буквой X. Научным языком того времени была латынь, в которой соответствующий знак имеет название «Икс».

Таким образом, знак, на первый взгляд являющийся лишь случайно выбранным символом, имеет глубокую историю и изначально является сокращением арабского слова «нечто».

Обозначение других неизвестных

В отличие от «Икса», знакомые нам со школьной скамьи Y и Z, а также a, b, c имеют гораздо более прозаичную историю происхождения.

В XVII веке была издана книга Декарта под названием «Геометрия». В этой книге автор предлагал стандартизировать символы в уравнениях: в соответствии с его идеей, последние три буквы латинского алфавита (начиная от «Икса») стали обозначать неизвестные, а три первые - известные значения.

Тригонометрические термины

По-настоящему необычна история такого слова, как «синус».

Первоначально соответствующие тригонометрические функции получили название в Индии. Слово, соответствующее понятию синуса, буквально означало «тетива». В эпоху расцвета арабской науки индийские трактаты были переведены, а понятие, аналога которому не оказалось в арабском языке, транскрибировано. По стечению обстоятельств, то, что получилось на письме, напоминало реально существующее слово «впадина», семантика которого не имела никакого отношения к исходному термину. В результате, когда в 12 веке арабские тексты были переведены на латынь, возникло слово «синус», означающее «впадина» и закрепившееся в качестве нового математического понятия.

А вот математические знаки и символы для тангенса и котангенса до сих пор не стандартизованы - в одних странах их принято писать как tg, а в других - как tan.

Некоторые другие знаки

Как видно из примеров, описанных выше, возникновение математических знаков и символов в значительной мере пришлось на XVI-XVII века. На этот же период пришлось возникновение привычных сегодня форм записи таких понятий, как процент, квадратный корень, степень.

Процент, т. е. сотая доля, долгое время обозначался как cto (сокращение от лат. cento). Считается, что общепринятый на сегодняшний день знак появился в результате опечатки около четырехсот лет назад. Получившееся изображение было воспринято как удачный способ сокращения и прижилось.

Знак корня изначально представлял собой стилизованную букву R (сокращение от латинского слова radix - «корень»). Верхняя черта, под которую сегодня записывается выражение, выполняла функцию скобок и являлась отдельным символом, обособленным от корня. Круглые скобки были придуманы позже - в повсеместное обращение они вошли благодаря деятельности Лейбница (1646-1716). Благодаря его же трудам был введен в науку и символ интеграла, выглядящий как вытянутая буква S - сокращение от слова «сумма».

Наконец, знак операции возведения в степень был придуман Декартом и доработан Ньютоном во второй половине XVII века.

Более поздние обозначения

Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.

Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.

Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке - позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.

Названия символов на разных языках

Как известно, языком науки в Европе на протяжении многих веков была латынь. Физические, медицинские и многие другие термины часто заимствовались в виде транскрипций, значительно реже - в виде кальки. Таким образом, многие математические знаки и символы на английском называются почти так же, как на русском, французском или немецком. Чем сложнее суть явления, тем выше вероятность, что в разных языках оно будет иметь одинаковое название.

Компьютерная запись математических знаков

Простейшие математические знаки и символы в "Ворде" обозначаются обычной комбинацией клавиш Shift+цифра от 0 до 9 в русской или английской раскладке. Отдельные клавиши отведены под некоторые широкоупотребительные знаки: плюс, минус, равенство, наклонная черта.

Если же требуется использовать графические изображения интеграла, алгебраической суммы или произведения, числа Пи и т. д., требуется открыть в «Ворде» вкладку «Вставка» и найти одну из двух кнопок: «Формула» или «Символ». В первом случае откроется конструктор, позволяющий выстроить целую формулу в рамках одного поля, а во втором - таблица символов, где можно найти любые математические знаки.

Как запомнить математические символы

В отличие от химии и физики, где количество символов для запоминания может превосходить сотню единиц, математика оперирует относительно небольшим числом знаков. Простейшие из них мы усваиваем ещё в глубоком детстве, учась складывать и вычитать, и только в университете на определенных специальностях знакомимся с немногочисленными сложными математическими знаками и символами. Картинки для детей помогают за считанные недели достичь мгновенного узнавания графического изображения требуемой операции, гораздо больше времени может понадобиться для овладения навыком самого осуществления этих операций и понимания их сущности.

Таким образом, процесс запоминания знаков происходит автоматически и не требует особых усилий.

В заключение

Ценность математических знаков и символов заключается в том, что их без труда понимают люди, говорящие на разных языках и являющиеся носителями различных культур. По этой причине крайне полезно понимать и уметь воспроизводить графические изображения различных явлений и операций.

Высокий уровень стандартизации этих знаков обуславливает их использование в самых различных сферах: в области финансов, информационных технологий, инженерном деле и др. Для каждого, кто хочет заниматься делом, связанным с числами и расчетами, знание математических знаков и символов и их значений становится жизненной необходимостью.

    При обучении математике детям обычно называют знаки больше и меньше клювиком, так им проще запоминать образное понятие. А вот чтобы запомнить в какую сторону пишется меньше, а в какую больше приводят другой пример - закрытый клювик всегда смотрит в сторону меньшего числа, открытый в сторону большего. То есть у нас получается такая жадная уточка, которая разевает клюв только на действительно стоящее. Возможно поэтому еще этот знак сравнивают с крокодилом. Теперь если слева стоит большее число, клювик к нему открыт и мы имеем знак quot;большеquot;, а если слева стоит меньшее число, клювик налево закрыт, то у нас получается знак quot;меньшеquot;.

    Знак quot;большеquot; и quot;меньшеquot; при письме изображаются галочкой, которая поврнута на девяносто градусов. При этом если носик галочки смотрит направо, то это знак больше. В противном случае, если узкий кончик галочки смотри налево, то меньше.

    В математике часто приходится сравнивать числа по величине, для чего и были придуманы графические символы. Вместо слова quot;большеquot; используется знак quot;>quot; , а вместо слова quot;меньшеquot; - символ quot;lt;quot; .

    Если, например, нам нужно сравнить между собой цифры 5 и 3, то это будет выглядеть так: 5 > 3 . Между цифрами стоит знак quot;большеquot;, который повернут своей открытой стороной в сторону большей величины. Запомнить обозначение очень просто: quot;носикquot; всегда повернут своим острием в сторону меньшего числа .

    Математические знаки запомнить легко: вот этот знак quot;>quot; обращен к буквам перед ним широкой частью и означает quot;большеquot;, а этот знак quot;lt;quot; обращен тонким углом и означает меньше. Оба знака могут быть усложнены знаком равно.

    Если вы хотите запомнить как пишется знак больше и знак меньше, то в первую очередь нужно запомнить о том, что у знака больше острый кончик направлен вправо:>. У знака меньше наоборот, острый кончик направлен влево: lt;.

    В первом классе нас учили (и я теперь так же 3х летней дочке легко объяснила), что этот знак похож на открытый клювик уточки, которая смотрит в сторону большего числа, то есть если левое число больше правого, то пишем > (больше), если наоборот- то lt; (меньше). Также можно запомнить что широкой (большой) своей стороной он смотрит в сторону большего числа.

    Если quot;открытой пастьюquot; знак поврнут влево - это больше.

    А если вправо - это знак меньше.

    Острый угол на знаке показывает на число - маленькая стрелка - знак МЕНЬШЕ .

    Так как в основном мы пишем слева направо и читаем так же, то нужно запомнить.

    Знак quot;большеquot; и quot;меньшеquot; изображается в виде буквы V, которая упало влево или вправо.

    Если этот знак упал влево, то есть два конца смотрят влево, а угол смотрит вправо, то это знак quot;большеquot; - quot; > quot;

    Если наоборот - знак упал вправо, то знак quot;меньшеquot; - quot; lt; quot;.

    Угол этого знака всегда смотрит на ту цифру, которая меньше. Если цифры равны, то между ними ставится знак равенства quot; = quot;.

    Знак больше и знак меньше в математике и статистике в формулах записываются с помощью специальных обозначений (значков):

    Символ больше: >

    Символ меньше: lt;

    Прописью вы можете записать их при необходимости как:

    Знак больше

    Знак меньше

    Математические знаки больше и меньше практический одинаковые, вот только открывают свой ротик в разные стороны. Ротик этого знака открывается всегда в ту сторону, где стоит большее число, а уголочек знака всещда указывает на меньшее число.

    7 lt; 9 - это знак меньше , потому что в левую сторону смотрит уголочек.

    9 > 7 - это знак больше , потому что в оевуб сторону открыт ротик знака.

    Пишутся знаки меньше и больше следующим образом:

    quot;lt;quot; - это зак, который означает quot;меньшеquot;,

    quot;>quot; - это знак, который означает quot;большеquot;.

    Ориентируйтесь на сторону знака, широкая указывает на большее число, а угол - на меньшее.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:

  • Алфавит английский. Английский алфавит (26 букв). Алфавит английский нумерованный (пронумерованный) в обоих порядках. ("латинский алфавит", буквы латинского алфавита, латинский международный алфавит)
  • Алфавиты греческий и латинский. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон... Буквы греческого алфавита. Буквы латинского алфавита.
  • Эволюция (развитие) латинского алфавита от протосинайского, через финикийский, греческий и архаическую латынь до современного
  • Алфавит немецкий. Немецкий алфавит (26 букв латинского алфавита + 3 умляута + 1 лигатура (сочетание букв) = 30 знаков). Алфавит немецкий нумерованный (пронумерованный) в обоих порядках. Буквы и знаки немецкого алфавита.
  • Алфавит русский. Буквы русского алфавита. (33 буквы). Алфавит русский нумерованный (пронумерованный) в обоих порядках. Русский алфавит по порядку.
  • Фонетический английский (латинский) алфавит НАТО (NATO) + цифры, он-же ICAO, ITU, IMO, FAA, ATIS, авиациионный, метеорологический. Он-же международный радиотелефонный алфавит + устаревшие варианты. Alpha, Bravo, Charlie, Delta, Echo, Foxtrot, Golf ...
  • Фонетический русский алфавит. Анна, Борис, Василий, Григорий, Дмитрий, Елена, Елена, Женя, Зинаида....
  • Русский алфавит. Частотность букв русского языка (по НКРЯ). Частотность русского алфавита - как часто встречается данная буква в массиве случайного русского текста.
  • Русский алфавит. Частотность - распределение частот - вероянтность появления букв русского алфавита в текстах на произвольной позиции, в середине, в начале и в конце слова. Независимые исследования примерно 2015 года.
  • Звуки и буквы русского языка. Гласные: 6 звуков - 10 букв. Согласные: 36 звуков - 21 буква. Глухие, звонкие, мягкие, твердые, парные. 2 знака.
  • Английская транскрипция для учителей английского языка. Увеличить до нужного размера и распечатать карточки.
  • Русско-врачебный алфавит. Русский медицинский алфавит. Очень полезный
  • Вы сейчас здесь: Таблица научных, математических, физических символов и сокращений. Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит.
  • Наряду с арифметическими действиями происходит знакомство с такими абстрактными понятиями, как «больше», «меньше» и «равно». Определить, с какой стороны больше предметов, а с какой – меньше, ребенку не составит особого труда. Но вот постановка знаков порой вызывает затруднения. Усвоить знаки помогут игровые методы.

    «Голодная птичка»

    Для игры понадобится знак – раскрытый клюв (знак «больше»). Его можно вырезать из картона или сделать большую модель из одноразовой тарелки. Чтобы заинтересовать малыша, можно приклеить или дорисовать глаза, перья, а рот сделать открывающимся .

    Объяснение начинается с предыстории: «Эта птичка – невеличка, любит хорошо покушать. Причем выбирает она всегда ту кучку, в которой больше еды».

    После этого наглядно показывается, что птичка открывает клюв в сторону, где больше предметов.

    Далее полученная информация закрепляется: на столе выкладываются кучки с зернышками, а ребенок определяет, в какую сторону птичка повернет свой клюв . Если не удастся правильно расположить его с первого раза, нужно помочь, еще раз проговорив, что рот открыт в сторону большего количества еды. Затем можно предложить еще несколько аналогичных заданий: числа написаны на листе, нужно правильно приклеить клюв.

    Примеры можно разнообразить, заменив птичку щукой, крокодилом или любым другим хищником, который также разевает пасть в сторону большего числа.

    Могут попасться необычные ситуации, где количество предметов в обеих кучках будет равное. Если ребенок это заметит – значит, внимательный.

    За это нужно обязательно похвалить , а потом показать 2 одинаковые полоски и объяснить, что они такие же одинаковые, как и число предметов в кучках, а раз количество предметов равное, то и знак называется «равно».

    Стрелочки

    Маленькому школьнику можно объяснить знаки на основе сравнения их со стрелками, показывающими в разные стороны.

    Сложности могут возникнуть при чтении выражений. Но и эта трудность преодолима: правильно поставив знак, он сможет правильно прочитать выражение . Выполнив несколько упражнений, ребенок запомнит, что стрелка, указывающая влево, обозначает знак «меньше». Если она показывает направо, то знак читается: «больше».

    Упражнения на закрепление

    После объяснения правил постановки знака необходимо потренироваться в выполнении аналогичных заданий.

    С этой целью подойдут задания такого типа:

    1. «Поставь знак» (4 и 5 – нужен знак «меньше»).
    2. «Больше-меньше» — ребенок большим и указательным пальцами обеих рук показывает знаки, сравнивая размеры различных предметов или их количество (самолет больше стрекозы, земляника меньше арбуза).
    3. «Какое число» — стоят знаки, написано число с одной стороны, нужно догадаться, какое число будет с другой стороны (в выражении «_
    4. «Допиши числа» — нужно правильно поставить числа слева и справа от указанного знака (число 8 будет стоять слева от знака «больше», а число 2 – справа).

    Для развития логики и мышления можно дополнить упражнения такими заданиями:

    • «С какой стороны убежал предмет?» — слева нарисовано 3 треугольника, справа – 2 квадрата, а между ними стоит знак «=». Ребенок должен догадаться, что справа не хватает квадрата, чтобы равенство было верным. Если не получается это сделать сразу, можно решить задачу практически, добавив сначала слева треугольник, а затем – справа квадрат.
    • «Что нужно сделать, чтобы неравенство стало правильным?» — с учетом ситуации ребенок определяет, с какой стороны нужно убрать или добавить предметы, чтобы знак стоял правильно.

    Видео инфоурок расскажет о знаках: больше, меньше и равно

    Поделитесь статьей с друзьями:

    Похожие статьи

    Урок 11. равенство. неравенство. знаки «>», «

    Математика, 1 класс

    Урок 11. Равенство. Неравенство. Знаки «>», «<», «=»

    Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

    1. Определять место знаков больше, меньше, равно

    2. Писать знаки >,<,=

    3. Называть равенство, неравенство.

    Глоссарий

    Равенство – это когда одно количество равно другому.

    Неравенство – это когда одна сторона выражения не равна второй.

    Если носик галочки смотрит направо - это знак больше (>).

    Если носик галочки смотри налево – это знак меньше (<).

    Знак равенства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя одинаковыми по своему значению выражениями.

    Ключевые слова

    Знак >; знак <; знак =

    Основная литература:

    1.Моро М. И., Волкова С. И., Степанова С. В. Математика. Учебник. 1 кл. В 2 ч. М.: Просвещение, 2017.

    Дополнительная литература:

    1. Моро М. И., Волкова С. И. Математика. Рабочая тетрадь. 1 кл. В 2 ч. пособие для общеобразовательных организаций. - М.: Просвещение, 201 с.

    Основное содержание урока

    1. Сегодня мы отправляемся в магазин, чтобы купить Оле и Ане к уроку технологии все учебные принадлежности.

    Для урока понадобится 1 пачка пластилина и две пачки картона.

    По сколько пачек пластилина получили девочки? ( по одной пачке)

    Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество пластилина.

    2. Для технологии необходимо две пачки картона.

    По сколько пачек картона получили девочки? (по две пачки)

    Можно сказать, что девочки получили одинаковое количество картона.

    3. В математике используется специальный значок, чтобы записать, что число предметов одинаковое.

    Можно записать цифрами и использовать для слов «одинаково», «равно» специальный значок «=»,1 = 1

    =

    2 = 2 (аналогично)

    Две палочки напишут дети,

    И что получится в ответе,

    Ведь каждый выучил давно,

    Как пишется тот знак: РАВНО!

    Такие записи называются равенствами.

    Это равенства. Записать равенства можно с помощью знака «=».

    Докажем, что одинаковое количество предметов с помощью стрелочек образует пары.

    На схеме каждый предмет обозначим кружочком и образуем пары. Покажем стрелочкой.

    Оля Аня

    Лишних фигур не осталось. Значит, поровну, одинаково.

    Можно записать 1 = 1

    6. 2 + 1 = 3

    Как можно прочитать эту запись?

    (Числовое равенство)

    Под этим высказыванием понимают два числовых выражения, которые стоят по обе стороны от знака « =».

    Обе части записи равны между собой.

    1. В каком количестве нужно было для урока картона? А пластилина?

    Чтобы узнать, каких предметов потребовалось больше или меньше, используют специальные значки «>», « <».

    Если с какой- то стороны больше или меньше, то запись будет называться «неравенство».

    Два больше одного.

    Картон Пластилин

    Если слева больше число, чем справа, то используют знак «>».

    2 > 1

    1. А если число слева меньше, чем справа, то ставим знак меньше «<».

    1 < 2

    1. Такие записи называются неравенства:

    4 > 3, 4 < 5

    Разбор типового тренировочного задания

    Выберите нужный знак и распределите на две группы.

    Дополните каждую группу своими записями.

    6 (=, >, <) 9

    1 (=, >, <) 3

    2 (=, >, <) 2

    3 (=, >, <) 3

    Правильный ответ:

    Равенства: 2 = 2, 3 = 3

    Неравенства: 6 < 9, 1 < 3

    Вставка математических знаков

    Основные математические символы

    Нет

    Часто используемые математические символы, такие как > и <

    Греческие буквы

    Строчные буквы

    Строчные буквы греческого алфавита

    Прописные буквы

    Прописные буквы греческого алфавита

    Буквоподобные символы

    Нет

    Символы, которые напоминают буквы

    Операторы

    Обычные бинарные операторы

    Символы, обозначающие действия над двумя числами, например + и ÷

    Обычные реляционные операторы

    Символы, обозначающие отношение между двумя выражениями, такие как = и ~

    Основные N-арные операторы

    Операторы, осуществляющие действия над несколькими переменными

    Сложные бинарные операторы

    Дополнительные символы, обозначающие действия над двумя числами

    Сложные реляционные операторы

    Дополнительные символы, обозначающие отношение между двумя выражениями

    Стрелки

    Нет

    Символы, указывающие направление

    Отношения с отрицанием

    Нет

    Символы, обозначающие отрицание отношения

    Наборы знаков

    Наборы знаков

    Математический шрифт Script

    Готические

    Математический шрифт Fraktur

    В два прохода

    Математический шрифт с двойным зачеркиванием

    Геометрия

    Нет

    Часто используемые геометрические символы

    Учим с дошкольниками знаки «больше», «меньше» или «равно».

    Ваш ребенок уже хорошо сравнивает предметы по количеству? Он может соотнести не только множества предметов, но и цифры до 10? Пришло время его знакомить с символами «больше», «меньше», «равно». Приведем несколько идей, как облегчить сравнение «больше», «меньше» и «равно», поскольку дошкольники их часто путают.

    Начните заниматься математикой онлайн прямо сейчас

     
    • Пасть голодного крокодила.  Нарисуйте два круга – две тарелки. Внутри каждой -  множества предметов, которые надо сравнить. Рядом напишите знаки «больше» и «меньше». Попросите ребенка представить, что каждый из знаков – рот крокодила, указывающий в определённую сторону.  Голодный крокодил наверняка выберет тарелку с большим количеством пищи, поэтому его пасть будет широко открыта возле этой тарелки. Это и есть знак «больше».  Можно сравнивать и с клювом птички, если ребенку по душе такое сравнение.
     

    Выполните развивающие упражнения от Айкьюши

    • Графический способ. Если написать знаки > и <, то мы увидим, что у одного расстояние слева между линиями больше, значит этот символ и есть «больше», у второго – меньше, значит это  «меньше».
     
    • Правая рука, левая рука. Сложите большой и указательный пальцы правой руки в форме уголка, получится знак «больше». Точно также пальцы левой руки образуют знак «меньше». Осталось запомнить: правая рука– больше, левая рука – меньше.

    Знак «равно» обычно не предоставляет сложности для запоминания.

    Можно практиковаться в сравнении предметов «больше», «меньше» либо «равно» на улице. В таком случае в качестве символов используйте палочки от мороженого или веточки. Уверены, что перечисленные способы запоминания облегчат изучение обозначений «больше» и «меньше», и не смотря на то, что они пишутся практически одинаково, ваш ребенок не будет их путать.

    Хотите больше онлайн заданий? Начните заниматься прямо сейчас

    {j-1} \ влево [- \ влево \ {\ гидроразрыва {j} {я} \ вправо \} \ вправо] \ вправо |} \ вправо] \ вправо | } \ верно-верно) $$

    Разве это не красиво?

    Красиво, но... бесполезно. Ведь давайте сначала посмотрим, что это правильно (мы поговорим о бесполезности в конце).

    Чтобы проиллюстрировать, как была изобретена эта формула, введем вспомогательные функции от и ( x ) и г ( к ). Примечание: вы всегда должны помнить, что [ x ] и { x } целая часть и дробная часть числа х ; (например.: [2,3] = , [0,1] = , [-2,3] = , и {2,3} =, {-1} =, {-2.3} = ).

    Во-первых, обратите внимание, что для фиксированного значения параметра a функция

    $$ z_a(x) = \ влево [\ frac {1} {1+ \ влево | a-x \ вправо |} \ вправо] $$
    равно 1 для аргумента x = a , а для остальных это 0.

    Обратите внимание, что значения выражения $ \ гидроразрыва {17} {я} $ для и = 2,3,...,16, все они неполные, потому что 17 не делится на любое натуральное число меньше и больше 1.{k} г (j) $ равно n , что в точности равно n простых чисел. не более к .

    Обратите внимание, что эта «предполагаемая» бесконечная сумма имеет только один ненулевой компонент, равно искомому в данный момент n -му простому числу. Итак, что поставить на место $+\infty$?

    Здесь воспользуемся замечательной теоремой Чебышева:

    ПРЕТЕНЗИЯ. Между натуральным числом m а 29 011 m и 90 014 лежат хотя бы в одном простом числе.{j-1} \ влево [- \ влево \ {\ гидроразрыва {j} {я} \ вправо \} \ вправо] \ вправо |} \ вправо] \ вправо | } \ справа] \ справа) $$

    90 130

    Теперь мы рассмотрим, почему приведенная выше формула неэффективна. Мы покажем его так называемый сложность вычислительный путем проверки количества вычислений функции { x }, дробной части, по адресу:


    at f (10) (для простоты мы оцениваем количество вычислений только снизу { x })

    Считая f (10) по приведенной выше формуле, нам нужно найти сумму 2 10 - 1 = 1023 ингредиента или более 1000.Рассмотрим ингредиент для к = 101.

    Для расчета нужно

    - во втором множителе 100 раз вычислить дроби вида {101/ и }

    -  . С третьим фактором все сложнее. Выражения вида { j / и } нужно рассчитать:
    - 1 раз по j = 2;
    - 2 раза по j = 3;
    - 3 раза по j = 4;
    ...
    - 50 раз по j = 51;
    - 51 раз по j = 52;
    ...
    - 100 раз по j = 101;
    или более 1 + 2 + 3 + ... + 50 + 51 + ... + 100 > 50 . 50 = 2500 раз.

    В каждой составляющей суммы по к > 101 (их больше 900) нужно тем более этих расчетов. Таким образом, количество вычислений дробной части равно больше 900 .90 123 2 500 > 2 000 000,

    УПРАЖНЕНИЕ. Аналогично оцените количество вычислений дробная часть при звонке f (20).

    Много?


    at f (10) (приведем количество вычислений { x })

    Считая f (10) по приведенной выше формуле, нам нужно найти сумму 2 10 - 1 = 1023 ингредиента или более 1000. Рассмотрим фиксированный ингредиент. с номером к.

    Для расчета нужно

    - во втором множителе k - 1 раз вычислить дроби формы { к / и }

    -  . С третьим фактором все сложнее. Выражения вида { j / и } нужно рассчитать:
    - 1 раз по j = 2;
    - 2 раза по j = 3;
    - 3 раза по j = 4;
    ...
    - к - 1 раз по к = к ;
    т.е. в обоих множителях
    ( к - 1) + (1 + 2 + 3 + ... + к - 1) = ( к - 1) + 1/2 . к . (к - 1) раз.
    (использовалась известная формула).

    Во всех слагаемых количество вычислений для дробной части равно:
    (1+2+3+... + 1023) + (1/2 . 2 . (2 - 1) + 1/2 . 90 123 3 . 90 123 (3 - 1) + ... + 1/2 . 90 123 1024 . 90 123 (1024 - 1)) =
    = 1/2 . 90 123 1023 . 90 123 1024 + 1/2 . 90 123 (1 . 2 + 2 . 3 + ... + 1023 .90 123 1024) =
    , то вы должны использовать формулы, доступные в таблицах математика
    = 1/2 . 90 123 1023 . 90 123 1024 + 1/2 . 90 123 1/3 . 90 123 1024 . 90 123 (1024 90 122 2 90 123 - 1) =
    с помощью калькулятора получаем
    = 523776 + 178956800 = 179 480 576,

    Это много даже для компьютеров.


    at f ( n ) (приведем количество вычислений { x })

    Считая f ( n ) по приведенной выше формуле, надо найти сумма 2 н - 1 состав.
    Рассмотрим фиксированный номер компонента к.

    Для расчета нужно

    - во втором множителе k - 1 раз вычислить дроби формы { к / и }

    - В третьем факторе сложнее.Выражения вида { j / и } нужно рассчитать:
    - 1 раз по j = 2;
    - 2 раза по j = 3;
    - 3 раза по j = 4;
    ...
    - к - 1 раз по к = к ;
    т.е. в обоих множителях
    ( к - 1) + (1 + 2 + 3 + ... + к - 1) = ( к - 1) + 1/2 . к . (к - 1) раз.
    (использовалась известная формула).

    Во всех компонентах количество вычислений для дробной части:
    (1 + 2 + 3 + ... + 2 90 122 n ) + (1/2 . 2 . (2 - 1) + 1/2 . 90 123 3 . 90 123 (3 - 1) + ... + 1/2 . 90 123 2 п . (2 - 1)) =
    = 1/2 . 90 123 2 нет . (2 н -1) + 1/2 . (1 . 2+ 2 . 3 + ... + 2 п . (2 - 1))=
    то нужно воспользоваться имеющимися в таблицах формулами математика
    = 1/2 .90 123 2 нет . (2 н -1) + 1/2 . 1/3 . 90 123 2 п . 90 123 ((2 90 122 2 n - 1)) =
    = 1/6 . 90 123 2 90 122 3 п 90 123 + 1/2 . 90 123 2 2 п - 2/3 . 90 123 2 и .

    Вместо точного значения лучше смотреть на самую большую составляющую: 1/6 . 90 123 2 3 n ;
    количество обращений к дробной части растет в геометрической прогрессии, для f (11) составляет примерно в 8 раз больше, чем у ф (10), а у ф (20) 8 10 $ \ примерно $ 10 90 122 9 90 123 раза больше! Это огромное число даже для сверхбыстрого компьютеры.


    Вот еще похожая формула: для n > 1

    $$f(n)=\sum\limits_{k=3}^{{2}^{n}}\small\left(k\cdot\mbox{sgn}\!\!\left(\prod\limits_ {i=2}^{k-1}k\mbox{mod}i\right)\!\cdot\!\left(1-\mbox{sgn}\!\!\left(\left|n-1 - \sum\limits_{j=3}^{k}\mbox{sgn}\!\!\left(\prod\limits_{i=2}^{j-1}j\mbox{mod}i\right ) \ справа | \ справа) \ справа) \ справа) $$

    Вы можете, как и выше, проанализировать его правильность и изучить его сложность вычисления.


    Приведенный выше текст является лишь введением в тему, представленную в книге: Пауло Рибенбойм, Маленькая книга великих простых чисел , WNT 1997 (глава третья называется: Существуют ли функции, определяющие простые числа? ). Я настоятельно призываю вас прочитать его.

    .

    НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА - Математика - Bryk.pl

    Натуральные числа — это наиболее очевидная и непосредственная конструкция, которая должна быть связана с математикой. Именно по этим числам первые люди научились считать, словно начав свое приключение с математикой. Натуральное число — это число, которое является целым и больше нуля. Набор натуральных чисел обозначается буквой «N», обычно пишется:

    N = {1,2,3 ...}

    Пока не решено, является ли нуль натуральным числом или нет.В некоторых областях предполагается, что ноль является натуральным числом, потому что это более удобно, например, в теории множеств или информатике. Это важно при расчете так называемых пустых произведений, например 0! = 1, которые считаются произведением натуральных чисел. На практике чаще всего предполагается, что первое натуральное число равно единице, а когда нужен еще и ноль, то это множество трактуется как сумма натурального множества и нуля. В этом вопросе всегда стоит упомянуть, как выглядит в нашей стране множество натуральных чисел, понимаем ли мы его вместе с нулем или без него.

    Вы можете интуитивно определять основные арифметические операции, такие как сложение и умножение натуральных чисел. Результаты таких операций над множеством натуральных чисел всегда будут принадлежать множеству натуральных чисел.

    Это отличается для вычитания и деления. В результате вычитания мы можем получить отрицательное число, а в результате деления — рациональное число, не принадлежащее множеству натуральных чисел.

    Historia
    Изначально натуральные числа, кроме нуля, использовались только при определении количества предметов.Первым достижением в этой области стало создание цифр, обозначающих значения заданных чисел.
    В Вавилоне использовались числа от одного до десяти, и значение данного числа определялось положением последующих чисел в ряду. В Египте использовались иероглифы, имевшие значения 1, 10, 100, 1 000, 10 000, 100 000, 1 000 000, то есть со степенями от десяти до миллиона. Ноль, как отдельная сущность, появился позже. Вавилоняне использовали нулевое позиционное обозначение в седьмом веке до нашей эры.э., но он не был независимым.
    У майя ноль был числом в первом веке до нашей эры, но оно не распространилось дальше Центральной Америки.
    Концепция нуля в том виде, в каком мы ее знаем сегодня, была создана в 628 году индусом Брахмагупте. В Средние века использовался ноль, но без представления римскими цифрами для него использовалось латинское слово: nullae .
    Греческие философы: Пифагор и Архимед предприняли систематическое изучение чисел.За пределами Греции такие рассмотрения проводились независимо в Индии, Китае и Центральной Америке. Строгое определение теории множеств для натуральных чисел появилось в девятнадцатом веке. По ее словам, ноль эквивалентен пустому множеству и является наименьшим элементом множества натуральных чисел. Хотя многие математики исключают ноль из этого набора.
    Обобщения

    Были сделаны различные обобщения концепции натуральных чисел. Наиболее очевидными являются целые числа, действительные числа и рациональные числа.

    Задания:

    1. Существует ли наибольшее число в N?

    2. Пусть n - некоторое натуральное число больше нуля. Запишите положительные числа, не превышающие числа n

    3. Пусть n - любое натуральное число. Запишите после этого числа еще 5 натуральных чисел.

    В этом наборе различают:

    четные числа - делятся на два

    нечетные числа - не делятся на два.

    Задачи:

    4.Пусть n - любое натуральное число. Объедините описание числа и его символическое обозначение:

    а.любое четное число I 5n

    б.любое нечетное число II 3n

    в.число, кратное 3 III 2n + 1

    г.пятикратное число IV 2n

    Десятичная позиционная система:

    Десятичная позиционная система является наиболее широко используемой системой для записи чисел. В нем значение каждой цифры, составляющей число, зависит от того, где она стоит в целом числе.

    Примеры:

    10501 цифра 5 означает, что в числе пятьсот, поэтому значение цифры 5 равно 500; 5337 цифра 5 означает число пять тысяч, поэтому значение цифры 5 равно 5000; 8754 цифра 5 означает, что в числе пять десятков, поэтому значение цифры 5 равно 50;

    Простые числа и составные числа

    В множестве натуральных чисел мы можем различать простые и составные числа.

    Исключением из этого правила являются числа 0 и 1

    Простое число — натуральное число, имеющее только два делителя: единицу и само себя.

    Составное число, имеющее более двух указанных выше факторов.

    Упражнения:

    5. Запишите число 360 в виде произведения несколькими способами.

    6. Запишите несколько первых чисел, которые меньше 50, и несколько составных чисел, которые меньше 50.

    Признаки делимости

    • На 2 (соответственно 5) назовем числа, последняя цифра которых является цифрой, кратной 2 ( на 5) или цифры, заканчивающиеся нулем.
    • Числа, оканчивающиеся двумя нулями, делятся на 4 (соответственно 25) или если их последние 2 цифры образуют число, делящееся на 4 (на 25) нулей или если их последние 3 цифры образуют число, которое делится на 8 (на 125).
    • Числа, сумма цифр которых делится на 3 (на 9), делятся на 3 (соответственно на 9).
    • Числа, которые делятся на 2 и 3, делятся на 6.
    • На 12 можно разделить числа, которые делятся на 3 и на 4.
    • На 18 можно разделить числа, которые делятся на 2 и на 9.
    • цифра ноль.
    • Если разность между числом, образованным тремя последними цифрами проверяемого числа, и числом, образованным остальными цифрами или наоборот, равна нулю или делится на 7 (соответственно на 11 или 13), проверяемое число является также делится на 7 (11 или 13)

    Задачи:

    7.В числе 254732 прибавьте цифру единицы так, чтобы число делилось на:

    а.2

    б.3

    в.4

    г.5

    д.9

    е.0 30 10

    г 25

    ч. 6

    шт. 12.

    Разложение числа на простые множители

    Чтобы разложить число на простые множители, его нужно представить в виде произведения только простых чисел

    Пример:

    Разложим 80 на простые множители:

    80 2 - 2 наименьший делитель 80, это простое число

    40 2 - 2 наименьший делитель 40, это простое число

    20 2 - 2 наименьший делитель 20, это простое число

    10 2 - 2 самый маленький Это множитель 10, это простое число

    5 2 - 5 является наименьшим делителем 5, это простое число

    1

    поэтому мы имеем: 112 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5

    Задачи:

    9.Выразите следующие числа в виде произведения всех простых чисел.

    а.128 б.330

    НОД и НОД

    При проверке делимости натуральных чисел можно определить делители и кратные, а значит

    НОД, т.е. наибольший общий делитель, т.е. наименьшее общее кратное натуральных чисел. Пример:

    D 32 90 202 = {1,2,4,8,16,32},

    D 24 90 202 = {1,2,3,4,6,8,12,24}.

    СЗД (24,32) = 8;

    W 90 201 25 90 202 = {25,50,75,100,125,150,175,200,225,250 ...},

    Вт 40 90 202 = {40,80,120,160,200,240,280,320 ...}

    NWWWS (

    . Найти НОД чисел: 24.36

    11. Найти НОД чисел: 20.30

    ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

    Множество целых чисел состоит из натуральных и противоположных чисел, т.е. получить путем вычитания каждого натурального числа из нуля.

    Задания:

    12. Существуют ли наименьшее и наибольшее число в множестве целых чисел?

    13. Выполните следующие действия:

    а.5 + (- 2) - (- 4) + (- 3) - (2) + (- 3)

    б.3◦ (-4) - ( - 2 ) * (- 3) +5 * (- 2) - (- 12) :( -4)

    14. Отметьте на оси целые числа, удовлетворяющие заданным условиям:

    а) Больше - 3 и меньше 5

    б) больше или равно - 5 и меньше 1

    в) меньше - 4 или числа больше 2

    Рациональные числа

    Рациональные числа - это числа, которые можно представить как частное 2 целых числа.Множество рациональных чисел обычно обозначается Q. Все рациональные числа имеют десятичное разложение. Десятичное разложение может быть:

    • конечное, например = 0,25
    • бесконечное, например = 0,666 ...

    Задания:

    15. Результат деления запишите в виде:

    а.

    I 25:4 II 6:11 III 35:4

    б) Десятичное число; I 35:4 II 12:5 III 4:9

    16. Выполнить действия:

    2,75 + 1,4 - (3,5 + 5): 2,25

    17.Вычислите:

    а) 5% от числа 65

    б) 170% от числа 60

    18. Найдите число, 18% которого составляет 36

    19. Сколько процентов от 60 составляет 9?

    НЕРАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

    Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными.

    На практике это означает, что его нельзя записать как частное двух целых чисел.

    Десятичное представление любого иррационального числа бесконечно и непериодично.

    В вычислениях часто используются десятичные приближения иррациональных чисел для упрощения вычислений.

    Пример:

    иррациональные числа: , π, 0,123456789101112131415 ...

    Корень второго порядка, арифметика любого натурального числа является рациональным числом, если это число является квадратом натурального числа.

    Пример: — иррациональное число.

    Иррациональные числа были открыты пифагорейцами по случаю теоремы Пифагора.Их открытие связано с тем, что квадрат со стороной, равной единице, имеет длину диагонали и непропорционален стороне, т. е. иррационален.

    Задания:

    20. С помощью калькулятора введите десятичную аппроксимацию следующих чисел до трех знаков после запятой.

    а.6

    б.15

    в.2 8

    г.5 20

    д.3 + 5

    Вещественные числа представляют собой непрерывные числа

    3 также для нуля и отрицательных чисел.Типичным представлением набора действительных чисел является прямая линия, называемая действительной осью. Обозначение набора действительных чисел R.

    Действительные числа - это самый большой набор, который включает в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, дроби, иррациональные числа, отрицательные числа и корни.

    При работе с действительными числами можно использовать такие термины, как: противоположные и обратные числа или абсолютное значение числа (модуль).

    Отрицательные числа лежат симметрично от нуля на действительной оси.

    Например, -2 противоположно 2.

    Обратная величина ненулевого числа z равна: 1 / z.

    Абсолютное значение (модуль) числа — это его расстояние от нуля.

    Абсолютное значение всегда неотрицательно, поскольку оно представляет собой расстояние.

    Обозначение: Абсолютное значение числа а равно: |а|.

    Пример: |-3 |= 3 - абсолютное значение -3 равно 3, потому что его расстояние от нуля равно 3.

    Задачи:

    21. Запишите числа, противоположные числам: - 9, 2, - 7 .5, - 0,25.

    22. Запишите обратные числа к числам: 2, 5, ¾.

    23. Введите абсолютное значение чисел: - 13, 13, - 7, 7, - 12, 0.

    ДЕЙСТВИЯ И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИЙ:

    Последовательность операций используется на множестве действительных чисел. Сначала делаем сложение, потом вычитание, потом умножение и деление (кроме деления на 0).

    Когда мы оперируем цифрами, мы применяем законы действия, улучшающие счета.

    90 (50003 90 (50003 9000 ) Добавка ) + 8 = 5 + (7 + 8)

    7 5 = 9 3 (4 5)

    90 нулю в умножение 90

    0 * 5 = 5 * 0 = 0

    ЮРИДИЧЕСКАЯ ИМЯ

    ПРИМЕР

    СИМВОЛИЧЕСКОЕ УВЕДОМЛЕНИЕ

    Преобразовать

    9000 7000 3

    0 7000 +

    0 7000 +

    0 7000 +

    0 + Ь = б + а

    Коммутативный свойство умножения

    5 6 = 6 5

    АВ = ВА

    9000

    (a + b) + c = a + (b + c)

    Связность умножения

    (ab) c = a (bc)

    ( а + с) b = ab + cb

    нулю в дополнение +

    0 + 5 = 5 + 0 = 5

    0 + а = а + 0 = а

    9036

    0 * a = a * 0 = 0

    Один в умножении

    1 * 5 = 5 * 5

    1 *

    1 * а = а * 1 = а

    Задачи:

    24.Считаем по закону действий:

    а.5+7+9+3+5+1 б.35+27+49+25+23+51

    в.2*9*7*5 г.25* 32 * 4 * 5

    Если мы производим вычисления со степенями и корнями, то лучше сначала преобразовать выражение, а потом вычислять. Если мы будем использовать свойства элементов и степеней, мы упростим и ускорим расчеты.

    Для действительных a и b и комплексных m и n мы имеем следующие свойства:

    9288896666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666663663666663666636636636666633666633636666336666

    90 367 (а м ) п = а m◦n

    90 367 (аb) п = а п б п

    929

    Элемент продукта 929

    . .

    СТЕПЕНЬ УМНОЖЕНИЯ НА ТОМ ЖЕ ОСНОВЕ

    когда у нас есть степени с тем же самым основанием, мы добавляем показатели степени, а основание остается то же.

    A M ◦ A N = A M + N

    Sharing мощность примерно на той же базе

    м : а п = а м-н

    СИЛЫ СИЛЫ

    , когда мы добавим силу и основание к экспоненте.

    способность продукта

    Сила продукта является такой же мощности продукта .

    СИЛА ВРЕМЕНИ

    Сила фактора равна силе.

    (A / B) N = A N / B N

    элемент продукта

    ЭЛЕМЕНТ ЭЛЕМЕНТ

    Корень частного есть частное элементов одной степени.

    В этих формулах a, b, m, n должны иметь такие значения, чтобы это выражение имело смысл.

    Приведенные выше законы действия квадратного корня можно использовать для упрощения формы некоторых иррациональных чисел.

    Вы можете:

    • Отключить фактор перед знаком корня,
    • Включить фактор под знаком корня,
    • 9 334.

    Числовые операции выполняются в следующем порядке:

    1. степень, корень
    2. умножение и деление
    3. сложение и вычитание

    Если в выражении есть скобка, она всегда имеет приоритет над остальными.

    Если у нас есть равнозначные операции, то выполняем их в порядке написания, то есть слева направо.

    Пример:

    8 + 8 -7 = 16-7 = 9;

    25-7 + 9-2 = 18 + 9 -2 = 27-2 = 25;

    16:4 8 = 48 = 32;

    510 : 36 = 50: 3 6 = 16 6 = 100

    .90 000 занятий по математике для детей каждый день

    Нравится ли вам гулять вместе, собирать камешки, наблюдать за природой, архитектурой или использовать обычные бытовые предметы для игры? Наверное, да, потому что, наверное, всем детям интересно то, что их окружает. Так мало нужно, чтобы начать приключение с изучением математики, достаточно немного повеселиться вместе и ребенок начинает самостоятельно открывать для себя различные явления и особенности.

    Узнайте о некоторых крутых способах изучения основ математики с помощью повседневных развлечений и простых заданий.Фонд mBank вдохновил нас на эти интересные математические игры. Мы получили материалы, подготовленные г-жой Эдитой Каниа, и на их основе разработали идеи для изучения математики в простых повседневных играх. Мне любопытно, какие из этих предложений вы уже используете в своей повседневной игре.


    Учимся считать


    Наверное, каждый малыш любит считать, сначала мы считаем пальчики на ручке и на ноге и различаем, что у нас, например, один нос и две руки.Мы учимся ориентироваться в собственном теле и различать правую и левую стороны. Постепенно дети концентрируют свое внимание на окружающем их пространстве. Они учатся считать следующие вещи, которые они используют для игры. Для этого отлично подойдут найденные на прогулке камешки, листья, шишки или каштаны.

    Во время прогулки можно считать шаги, деревья, машины, собак, кошек, дома, окна домов и т. д. Также можно попросить ребенка принести «4 листочка», «6 цветков», «5 палочек разной длины», «5 палочек одинаковой длинн. длины» и т. д.Такие игры хоть и простые, но обязательно научат детей считать быстрее. Малыши очень любят искать различные драгоценные камни, ракушки и сокровища, поэтому им это будет в удовольствие.


    Сравнить длины


    Когда вы идете вместе, вы можете весело провести время, сравнивая длины. Мы стоим рядом и делаем один шаг, затем спрашиваем ребенка, сколько шагов ему нужно сделать, чтобы пройти тот же путь? (Пусть ребенок сделает, например,2 шага, чтобы увидеть, сколько из этих шагов он должен сделать). Что это означает? Что шаг родителя в два раза длиннее, чем у ребенка. Другими словами, шаг ребенка в два раза короче, чем у родителя. Мы можем продолжать и продолжать: родитель делает два шага. Сколько шагов должен сделать ребенок? (Мы знаем четыре, но пусть сначала ответит ваш ребенок, а затем выполните следующие действия, чтобы проверить его ответ.)

    Это такие простые азы, чтобы учить логику, сравнивать и делать выводы. Игра в сочетании с движением позволяет ребенку усваивать математические понятия более простым способом.

    Можно ли таким же образом учить дроби?

    Конечно - если родитель сделает один шаг, а ребенок сделает один шаг, ребенок пройдет половину расстояния, пройденного родителем. Половина это 1/2. Если родитель делает два шага, а ребенок — один, это означает, какую часть пути прошел ребенок с родителем? - 1/4.

    Вместо ступенек можно сделать тип-топы, измерить длину своего прыжка с места в длину.Это одна из любимых игр моих мальчиков. Проводим стартовую линию и оттуда совершаем длинный прыжок без разбега. Обводим место приземления палкой и меряем длину палки прыжком. Мальчики особенно радуются, когда им удается побить свой рекорд в прыжке, и в результате они жадно «отсчитывают» свой новый рекорд длиной палки или рулетки. Они даже не знают, что помимо отличного отдыха на свежем воздухе, они также изучают математику.

    Часто дети не понимают, что это значит, когда что-то «вдвое длиннее» или «вдвое короче».Во время прогулки можно наблюдать за деревьями, кустарниками, заборами, постройками и говорить ребенку, например: «Посмотри, это дерево в два раза ниже того, что рядом с ним».

    Скорость можно сравнивать вместо длины. Предположим, мы хлопаем в ладоши в одном темпе. Во время одного хлопка родителей ребенок должен дважды хлопнуть в ладоши. Это означает, что она должна хлопать в два раза быстрее. Здесь мы снова можем регулировать темп хлопков и стараться сделать так, чтобы ребенок мог хлопнуть 3 или 4 раза за один хлопок родителя.(Кстати, упражняемся в ритме и может оказаться, что ребенок музыкальный. Ведь математика в музыке тоже полезна: Целая нота - это две половинки, четыре четверти и т. д. Половина длится в два раза дольше. долго, как целая нота - эквивалент хлопков в два раза быстрее).


    Как считать?


    Бывают в жизни моменты, когда в нашем распоряжении нет измерительного инструмента, но нам нужно что-то измерить? Что делать тогда? Вы должны справиться с этим.Мы поговорили о ступенях, так что начнем с этого — мы идем вдоль какого-то забора или стены. Как измерить его длину? Это очень просто - идя, мы считаем, сколько шагов мы сделаем (например, шагов родителей). Предположим, что две ступеньки этой средней длины составляют 1 метр. Тогда половина количества ступенек - это длина стены в метрах. (Сколько дециметров или сантиметров?) Вы можете сделать много таких анализов и сравнений.

    Как измерить окружность дерева? (Здесь мы сразу "осязаемо" узнаем, что такое схема).Допустим, у нас есть нить длиной 10 или 30 см. Отмечаем на дереве начальную точку, от которой начинаем считать, сколько раз наша ниточка влезает в окружность — потом результат умножаем на длину ниточки и готово.

    Такая забава - это не только научиться считать, но и логически мыслить - как считать то, что, на первый взгляд, мы не можем легко сосчитать, или у нас нет для этого инструментов. А поиск самого толстого дерева во время прогулки с ленточкой наверняка доставит всей семье массу эмоций и радости.

    Вы также можете выучить таблицу умножения, прогуливаясь по улице. По дороге мы часто проезжаем многоквартирный дом. Предположим, в доме 4 этажа и на каждом этаже по 6 окон. Простое управление, и мы уже знаем, сколько всего окон в здании. И можно ли быстро сосчитать, сколько в нем балконов, ставней или других частей? Такие игры показывают детям, что математика окружает нас повсюду и часто бывает полезной в быту.

    -Все ли деревья в этом парке лиственные?
    -Нет!
    -Почему?
    -Потому что в этом парке есть хвойное дерево!

    Этот пример иллюстрирует различие между «общим» и «частным», говоря мудро, — общим квантором от экзистенциального.Брр, а звучит - но не будем бояться этой формулировки. Судя по всему, если ребенок в раннем возрасте может различать эти квантификаторы, у него выше среднего логическое мышление/математические способности. Только не говорите детям о квантификаторах! 😉

    Мы спрашиваем, есть ли у нескольких вещей характеристика, например, все ли фрукты в корзине яблоки? Если есть хотя бы один другой фрукт, ребенок должен его заметить, указать и сделать вывод – не все фрукты являются яблоками, потому что в корзине есть (другими словами на математическом языке: есть) другой фрукт.Все ли яблоки красные? Все ли бананы продолговатые? Все ли апельсины круглые? При утвердительных ответах следует также попросить обоснование — да, потому что если взять любой апельсин (иначе на математическом языке: любой), то он круглый.

    Измельченная соломинка для питья также очень интересна для расчета длины и сравнения. Укладка постепенно нарезается кусочками от самого маленького к самому большому. Или показать ребенку, сколько половина соломинки, т. е. что две половинки равны целому.Это идеальное введение в мир дробей, пропорций и делений.


    Знак равенства


    Преобразование уравнения часто является большой проблемой для многих детей, и это не так сложно понять. Если что-то происходит с одной частью уравнения, это должно работать и с другой частью уравнения. Может быть, дело в том, чтобы привыкнуть к символу равенства =?

    Давайте попробуем простую игру с фруктами, но вы также можете использовать различные предметы/игрушки и лист бумаги с напечатанным/нарисованным знаком равенства и нарисованными на нем крестиками.

    1. Три яблока равны трем яблокам. Очевидный.
    2. Что нужно сделать, чтобы сохранить равенство, если мы добавим одно яблоко слева? Конечно, добавить одно яблоко, ведь если мы прибавим к левой части уравнения 1, то и к правой части придется прибавить 1. Здесь вместо сложения можно, например, умножить на 2, 3 ( в зависимости от того, сколько предметов у нас есть).
    1. И чего не хватает в правой части равенства?
    1. Теперь нужно рассмотреть, чего не хватает одновременно в левой и правой частях равенства.
    2. 90 106

      Отлично показали себя в такой игре наши фрукты, которые конечно же были со вкусом съедены позже. В дальнейшей игре мы использовали кубики, машинки и мелки. На самом деле для этого подходят многие окружающие нас предметы, и такое обучение доставляет ребенку удовольствие. Вот почему я люблю домашнее образование. Хотя сами мы им не пользуемся, я с удовольствием реализую элементы такого обучения при каждом удобном случае.

      1. По мере взросления ребенка яблоки и бананы превращаются в «х-си» и «у-ки».Так что можете попробовать поиграть с ними прямо сейчас.
      2. 90 106

        Поначалу это может показаться сложным, но после нескольких таких игр ребенок привыкнет к символу равенства и вышеупомянутым «иксам» и «у-ками», а также к действиям (деятельности), совершаемым с обеих сторон этого равенства.

        1. Другие примеры. У нас есть одна длинная и две короткие ленты (потом, может быть, три короткие и т. д.). Вы можете видеть, что длина более длинного равна сумме длин двух более коротких.
        2. 90 106

          1. Мы тоже каждый день имеем дело с деньгами, и наверное каждый ребенок любит их считать, пересыпать и раскладывать. Это стоит использовать для создания различных уравнений. Мы играли с бумажными тарелками и клали на них одинаковые суммы в различных конфигурациях. Например, 3 злотых = 3 злотых, 5 злотых = 5 злотых. По словам ребенка, нужно было сложить или вычесть соответствующие монеты так, чтобы сумма совпадала в обеих частях уравнения.
          2. 90 106


            Сравнить размеры


            Понятие меры в математике очень важно.Мы часто говорим, что один предмет лучше другого. Длина одной стороны прямоугольника больше другой, один угол больше другого, один набор больше другого и т. д. можно перечислить примеры. Так что же такое мера в основном?

            1. Возьмите два горшка/контейнера так, чтобы меньший можно было поставить в больший. Ребенок интуитивно понимает, что значит, что одно больше другого. Какой из этих горшков может вместить больше воды? Затем их можно наполнить водой и проверить правильность предыдущего ответа.Таким образом, мы также можем объяснить ребенку, что такое объем. Один из двух горшков имеет больший объем, и мы можем использовать его для измерения большего количества воды.
            2. 90 106

              1. Другой вопрос что такое прямой угол, острый угол и тупой угол ? Что такое прямой угол, объяснить легко, потому что вы можете найти их везде, например, в квартире: углы комнаты, если у нас есть прямоугольный стол, если у нас есть прямоугольная плитка на кухне или в ванной комнате.

              Что такое угол - это тоже легко объяснить, нарисуйте две пересекающиеся линии, или найдите одну в нашей среде (перекрестные карандаши, руки, струны и т.д.). А какой у чертополоха угол - это тот, который меньше прямого угла, или другими словами: "может влезть в прямой угол". В свою очередь, тупой угол - это тот, который содержит прямой угол. Здесь мы можем играть в вырезки. Для вырезов лучше всего использовать цветную бумагу, чтобы углы были лучше видны. Мы также научились измерять углы.

              Далее мы можем сравнить областей (площадей) фигур. Мы не хотим сейчас вводить понятие "поле", но мы хотим, чтобы ребенок интуитивно понял, какая фигура больше.Позже это может пригодиться для вычисления площадей фигур неправильной формы, которые нужно разбить на несколько меньших треугольников, квадратов или ромбов. Смотрите фото ниже, синий квадрат находится внутри синего прямоугольника. Красный квадрат находится внутри синего квадрата. Делим синий пятиугольник на три треугольника.

              Здесь стоит обратить внимание на один факт: если мы можем «вложить» одну фигуру в другую, то она, конечно, имеет меньшую площадь. Однако, если мы не можем «вложить» одну фигуру в другую, это не значит, что мы не можем сравнивать их поля.

              Мы превратили квадрат в ромб. Мы не можем покрыть квадрат ромбом, и мы не можем покрыть ромб квадратом, и мы знаем, что они имеют одинаковые площади.
              Мы еще играем в вырезки, уже с детьми чуть постарше. Допустим, у нас есть квадратные листы бумаги со сторонами 1×1, 2×2, 3×3 и т. д. (сколько захотим).

              Это также могут быть, например, блоки. Как из меньших квадратов составить больший квадрат?

              Посмотрим первый рисунок: 9 = 3 90 200 × 90 201 3 = 2 90 200 × 90 201 2 + 1 90 200 × 90 201 1 + 1 90 200 × 90 201 1 + 1 90 200 × 190 201 + 1 90 200 × 90 201 1 + 1 90 200 × 90 201 1 = 4 + 5 90 200 × 90 201 1.

              Второй чертеж: 4 = 2 90 200 × 90 201 2 = 4 90 200 × 90 201 1

              Третья цифра: 3 90 200 × 90 201 3 = 9 = 9 90 200 × 90 201 1 90 200 × 90 201 1

              Можно сделать и наоборот: спросите ребенка, сколькими способами можно разделить квадрат на более мелкие квадраты? Вероятно, играя, например, с кубиками Лего, каждый из них знает, как построить квадрат или квадрат большего размера (например, для основания башни), имея в своем распоряжении маленькие блоки.

              Если вы хотите развлечься таким образом, используя блоки и вырезы, вы можете скачать готовый шаблон для печати и раскраски.

              Мне очень любопытно, как вам представлены представленные идеи по приручению математических понятий с раннего возраста. Мне нравится такое обучение через игру, и мои мальчики к этому уже привыкли и охотно берутся за такие игры и вызовы. Может быть, у вас есть некоторые из ваших патентов и крутые математические предложения, которые вы используете? Будет здорово, если вы поделитесь своим опытом в комментариях. Возможно, многим читателям будут полезны ваши знания и идеи.


              Смотрите также первую часть нашей математической пьесы

              .

              Пересмотр перед аттестатом зрелости - математика задания: 3.184. Как подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его площадь была не меньше 5 и не больше 12,

              LO 4 года. МАТЕМАТИКА. КЛАСС 3. РАСШИРЕННЫЙ ДИАПАЗОН.


              LO 4 года. Сборник задач 3 класс. Базовый уровень


              LO 4 года МАТЕМАТИКА. КЛАСС 2. РАСШИРЕННЫЙ ДИАПАЗОН.


              LO 4 года. МАТЕМАТИКА. СБОР ЗАДАНИЙ. КЛАСС 1.


              ЛО 3 года.Математика Комплект задач для ВУЗов и техников, 3 класс, расширенный круг


              Ло 3 года Комплект задач для ВУЗов и техников, расширенный объем, 2 класс


              Ло 3 года Математика 2. Комплект задач. Базовый диапазон. Средняя школа, технический лицей


              Сейчас, аттестат 2017 года. Базовый уровень


              Повторение перед выпускными экзаменами Математика. Задачи. Базовый диапазон


              .Число Пи 90 000 - интересные факты и информация

              Отметить сегодняшнюю дату как 3,14 — это приближение к математической константе Пи. Все об этом знают, но знаете ли вы, что мы никогда не узнаем точного значения, хотя сегодня мы знаем, как расширить его до более чем 62 миллиардов знаков после запятой

              Число Пи, обычно записываемое как греческая буква π с 19 века (введено Уильямом Джонсом в 1706 году), является математической константой, точное значение которой никто не может вспомнить.Почему я поднимаю эту тему? Для стимуляции ума и потому, что сегодня день числа Пи. Это американский праздник, но он приобрел международный характер. Не помешает лучше узнать друг друга.

              Почему мы празднуем День Пи?

              Можно сказать, что так как 14 марта день рождения Альберта Эйнштейна, мы кстати отмечаем день Пи. В этот же день в 2018 году скончался и Стивен Хокинг.

              Но число Пи заслуживает внимания по другой причине.Без него, вероятно, не существовало бы ни Вселенной, ни современной науки. Кроме того, Международный день числа Пи — это повод почтить математику, которая является языком науки. А без обучения не было бы всех удобств, которыми мы так охотно пользуемся каждый день.

              Число Пи присутствует в постоянных и различных научных формулах. Например, магнитная проницаемость вакуума равна 4π * 10 -7 . Через него Pi появляется в диэлектрической проницаемости или как кулоновская постоянная.Это значение также появляется в формулах для радиуса атома или размера электрона. Это фактор космологической постоянной и формулы, описывающей принцип неопределенности Гейзенберга.

              В математике Пи — это множитель, который появляется как результат многочисленных интегралов, сумм рядов и т. д. Он используется в воображаемом исчислении, тригонометрии, которая, в свою очередь, используется в электронике, волновой физике, медицине и астрономии. Число Пи также является символом того, что мы вошли в мир великой математики.Наверное, все помнят те эмоции, которые сопровождали изучение узора поверхности круга в школе. Ну, почти все.

              Что такое Пи?

              Хотите верьте, хотите нет, но есть люди, которые не знают, что такое число Пи. Они слышали об этом, они подозревают, что это, наверное, модный термин или имя героя фильма. Стыдно, особенно когда попадаешь в колледж с таким невежеством... Но не стыдно не знать, что в стотысячном десятичном разряде стоит цифра 1 или что последовательность 123456 не входит в первый миллион цифр .

              Давайте на мгновение вернемся к основам и запомним раз и навсегда, что равно Пи.

              Число Пи говорит нам, сколько раз в окружности окружности длина его диаметра равна

              Вы наверняка знали об этом, ведь в школе мы учим формулу 2*Pi*r или Pi* d, что позволяет вычислить длину окружности при знании ее длины радиуса (r) или диаметра (d). Несмотря на эту банально простую зависимость, о которой вавилоняне и египтяне знали уже раньше древних греков, даже квантовый компьютер с гигантской дисковой памятью не запомнит значение Пи.Ты знаешь почему?

              Число Пи нельзя представить в виде обыкновенной дроби, т. е. путем деления двух натуральных чисел само на себя

              Потому что Пи — иррациональное число. Таким образом, тот, который не может быть записан как частное двух целых чисел, таких как 1/2 или 5/2. То, что не существует такой дроби, т. е. рационального числа, точно соответствующего значению числа Пи, было доказано только в 18 веке. Пи также является високосным числом.

              Пи бесконечно?

              А что значит бесконечное число? С точки зрения математики это не так просто, как мы это понимаем в обычном смысле этого слова.Но этого простого понимания нам достаточно.

              Пи — число с бесконечным десятичным расширением дробной части. С этой точки зрения оно бесконечно

              Мы знаем, что Пи больше 3, но меньше 3,2, а они не бесконечны. С этой точки зрения число Пи не бесконечно. Самое интересное начинается, когда мы пытаемся сосчитать или просто заменить десятичную точку в десятичном разложении числа Пи. Тогда окажется, что их действительно бесконечное множество.И теперь вы понимаете, почему нельзя численно записать число Пи ни в одной известной нам памяти.

              π т.е. два бруска и перекладина. Это легче запомнить, чем десятичное расширение

              Школьные знания позволяют нам знать число Пи с точностью до двух (3,14) или пяти знаков после запятой (3,14159). Конь с рядом тем, кто помнит, что мы развиваем Пи следующим образом.

              π = 3,14159265358979323846264338327950288419716939937510582097 ...
              и так нужно продолжать и продолжать.

              Кстати, есть энтузиасты, которые заучивают число Пи наизусть, и так называемые пи-эматы, или стихотворения, в которых количество букв в каждом слове соответствует следующей цифре в разложении числа Пи, можно полезно здесь.

              Запомни как можно больше цифр

              Одержимость числом Пи привела к особому мировому рейтингу.

              Если вам интересно, что означают значения в столбце «цифры», то это не цифры десятичного разложения числа Пи, вычисленные вручную, а цифры, запомненные и повторенные без ошибок.Текущий мировой рекорд составляет 70 030 десятичных знаков, на чтение которых ушло более 17 часов.

              Вероятно, некоторые из вас знают стихотворение Казимира Цвойдзиньского, который фактически был профессором Инженерной школы (сегодня в Техническом университете) в Познани:

              Куч и плуг
              в день люто
              потому что без труда не бывает посевов
              Золотая удача корабля
              Ты крут...
              Кузница.
              Мы не ждем чуда.
              Робот
              это сила народа.

              Это облегчает запоминание первых 24 цифр числа Пи. В случае с пи-эма Виславы Шимборской это было бы сложнее, потому что само произведение длинное и сложное.

              Задача записи точного числа Пи гораздо интереснее, чем запись 1/3 в десятичном виде, что соответствует 0,3 (33). Сами по себе тройки неинтересны, но с числом Пи вычисление последовательных чисел было и остается проблемой. Так или иначе, вы, вероятно, сами использовали бенчмарк (Super Pi), который проверял производительность компьютера, вычисляя последовательные цифры десятичного расширения числа Пи.

              Как именно стоит знать число Пи, чтобы Вселенная не рухнула

              Если у вас есть немного свободного места в памяти, и вы хотите быть уверенным, что ни одно выполненное вами вычисление не вызовет беды, стоит запомнить около 40 знаков после запятой. Говорят, что это позволяет определить окружность наблюдаемой Вселенной вплоть до размера одного атома. Нам, наверное, в жизни большей точности и не понадобится, а значит, все сегодняшние расчеты — искусство ради искусства.

              НАСА, даже дюжины или около того цифр расширения числа Пи достаточно, чтобы не испортить Международную космическую станцию ​​и другие космические аппараты/зонды. А фундаментальные физические и математические константы, вычисленные комитетом CODATA, используют знание числа Пи до 32 знаков после запятой.

              Ручной или машинный - методы расчета Пи

              Вы можете увидеть эту страницу для расширения Пи. Если вам нравятся задачи, с которыми имеет дело ваш внутренний ИНТЕЛЛЕКТ, то вы можете самостоятельно вычислить число Пи.

              Сначала простая аппроксимация, т.е. частное 22/7 (по этой причине 22 июля - день аппроксимации числа Пи, для специалистов по истории Польской Народной Республики связанный с датой подписания PKWN манифест, который не имеет абсолютно никакого отношения к математике :)).

              Расширьте эту дробь, чтобы получить приближение по крайней мере к 6 знакам после запятой. И это без калькулятора. Получилось 3,142857 (...), что не так много, как должно быть. Да, точности до двух знаков после запятой мало, но она все же ближе к истине, чем школьная 3,14.Более точным будет частное 355/113, которое дает 3,141592 (...). Этому приближению, в котором целых 6 знаков после запятой верно, мы обязаны китайскому математику Цзу Чунчжи. Он жил около 1500 лет назад.

              Теперь используйте приведенное ниже выражение. Радоваться, веселиться. Это алгоритм братьев Чудновских, математиков из Киева, Украина. В настоящее время он используется во всех вычислениях записи числа Пи.

              Способы вычисления Пи также различны, все они сводятся к использованию формул (с использованием сумм, рядов), результат которых известен как дробь, степень числа Пи или какая-либо функция этого математического постоянный.Идеи расчета можно найти, например, на сайте Wolfram.

              В зависимости от типа формулы нам нужно перечислить все цифры после запятой, чтобы найти следующую, или ограничиться перечислением только определенной цифры после запятой.

              Точность вычисления Пи. Сегодня и в прошлом

              Наивысшая точность, достигнутая на сегодняшний день, составляет почти 62,8 триллиона знаков после запятой. Она была получена в 2021 году группой математиков из Швейцарии после примерно 108 дней вычислений. Для этого использовалась система с процессорами AMD Epyc 7542 с тактовой частотой 2,9 ГГц по умолчанию и 1 ТБ оперативной памяти.

              AMD Epyc

              Данные рассчитывались и хранились в шестнадцатеричной системе, поэтому необходимо было дополнительно перевести в десятичную систему и проверить перевод. Данные уже были подтверждены путем сравнения их с предыдущей записью в 50 триллионов цифр, а также путем подсчета последних нескольких десятков цифр расширения.

              Если бы мы попытались записать этот рекорд развития в блокнот в квадрате, набрав одно число в одном поле и записав обе стороны каждой страницы, нам понадобился бы блокнот толщиной 3600 км.Именно столько нужно страниц — около 36 миллиардов. Время, необходимое для их записи, я боюсь подсчитывать, хотя, видимо, с каждым днем ​​в мире используется еще больше бумаги. Будет намного проще получить рассчитанное значение Pi с сервера pi.fhgr.ch. Написанный в шестнадцатеричном формате, он занимает 48 ТБ дискового пространства.

              Если вы хотите попробовать вычислить число Пи самостоятельно, я предлагаю вам использовать программу y-cruncher, ту же программу, которая использовалась для вычисления всех расширений записи числа Пи. Он работает на Windows и Linux.Его запуск не принесет нам финансовых выгод, таких как майнинг криптовалют, но какое-то удовлетворение всегда будет.

              y-cruncher Davis
              Последняя версия y-cruncher оптимизирована для систем AMD Ryzen 7

              . Проверка результатов вычислений Pi занимает гораздо меньше времени, чем сам расчет, но желание верификаторов доказать ошибку огромно. Одним из самых известных неудачников, вероятно, является Уильям Шенкс, который потратил большую часть своей жизни на то, чтобы вручную пересчитать 707 цифр числа Пи (в 1854 году оно было исправлено до 500 цифр) и сделать ошибку на 528 (поэтому дальнейшие цифры были неверными). ), что было доказано только более чем 70 лет спустя.

              И подумать только, что древние вавилоняне довольствовались значением 3,125. Египтяне гораздо точнее использовали значение 3,143. Кроме того, многие египетские постройки, на переднем плане которых стоят пирамиды, скрывают весьма приблизительное значение числа Пи в различных соотношениях между размерами этих объектов. Архимед был еще точнее, отсюда и название - постоянная Архимеда.

              В свою очередь, Библия считается менее точной, так как из 3 Царств (7:23) можно сделать вывод, что Пи равно 3.Однако это может быть результатом округления, использованного автором, не знающим, к чему приведет эта путаница в наше время. Значение отображаемого в калькуляторах числа Пи, состоящего из 9 или 10 цифр, было известно около 1400 года. В свою очередь, первая современная формула для вычисления Пи — это бесконечное произведение Джона Уоллиса 1655 года. Тот же, кто ввел математическое обозначение бесконечности, используемое сегодня.

              В 1949 году можно было вычислить 2000 знаков десятичного разложения числа Пи по приведенной ниже формуле (которая использует ряд Тейлора для аппроксимации значения функции арктангенса), а в 1961 году — с помощью компьютера IBM 7090. и исправленной формуле было найдено 100 000 цифр.В 1989 году компьютер IBM 3090 снова преодолел миллиардный барьер расширения. В 2002 году было насчитано более триллиона цифр.

              В свою очередь, в 1985 году попытка вычислить первые 29 миллионов цифр расширения Пи позволила обнаружить аппаратные ошибки в суперкомпьютере Cray-2. Открытие было сделано Дэвидом Х. Бейли, создателем современных алгоритмов вычисления числа Пи. Рекорды по вычислению Пи с помощью суперкомпьютеров фиксировались до 2009 года. Затем записанные записи получаются на обычных компьютерах – расчеты занимают больше времени, но это и более сложная задача, чем запуск расчетов на одном из лидеров ведомости ТОП500.

              Квадратура круга

              Тот факт, что Пи разлагается в десятичную бесконечность, связан с так называемой проблемой квадратуры круга. Мы часто используем их, когда хотим подчеркнуть неразрешимость данной проблемы, но что на самом деле представляет собой эта квадратура?

              Дело здесь в том, что превращение круга данной площади в квадрат той же площади невозможно за конечное число геометрических операций. То есть те, которые пользуются циркулем и линейкой без градуировки.Возможно, мы приближаемся к решению, как в задаче, где за каждым шагом следует оставшаяся половина пути. Но мы никогда не достигнем цели, всегда останется немного.

              Пи делает вселенную реальной

              Это несколько философская формулировка, которая опровергает утверждение, что наша Вселенная может быть компьютерной симуляцией. Однако, поскольку в нашем мире есть такое прекрасное число, как Пи, которое бесконечно, и нет правила хранить все это в конечном объеме памяти, наша реальность должна быть реальной.

              Это корявый перевод, но он может поднять вам настроение. Это упоминается в эпизоде ​​Star Trek TOS, в котором Спок говорит злонамеренному компьютеру ввести последнюю цифру десятичного расширения числа Пи.

              Скрытая красота Пи

              Пи долгое время вдохновляла людей, занимающихся паранаукой, и художников, и ее имя даже появилось в названии платформы Raspberry Pi. Последователям метафизики наверняка будет приятно найти каждое пятизначное число среди первых 100 миллионов цифр разложения числа Пи, и с вероятностью почти 2/3 даты их рождения в формате ДДММГГГГ.Иногда к Пи обращаются как к числу, которое якобы скрывает тайны Вселенной в своем десятичном разложении. Неудивительно, ведь число Пи скрыто в многочисленных физических формулах.

              В повседневной жизни число Пи, помимо использования в формулах длины окружности и площади круга, также полезно как величина, облегчающая различные вычисления. Достаточно знать до двух знаков после запятой. Таким образом, приблизительное количество секунд в году равно Пи * 10 7 , а среднее отношение длины речной долины к длине реки равно Пи .

              Пи также фигурирует в теории вероятностей. Например, число 6 / Пи 2 — это вероятность того, что два случайно сгенерированных числа не будут иметь общего делителя, отличного от единицы, — то есть являются простыми числами.

              И еще более дурацкая комбинация, которая поможет запомнить формулу объема цилиндра и поверхности колеса - Пицца , где "z" - радиус пиццы, а "a" - ее высота.

              Сегодня все для Пи. Для развлечения я рекомендую посетить этот поисковик последовательности номеров и найти строку цифр, которая соответствует нашему номеру телефона.Ищутся первые 2 миллиарда цифр десятичного расширения. Шансы найти это число высоки, а это значит, что число Пи на самом деле необычное.

              Источник: собственная информация, исходное фото: энгин акюрт на Unsplash

              .

              Квадрат всем известен

              Все мы знаем площадь. Четыре секции одинаковой длины, соприкасающиеся под прямым углом. Что вы можете увидеть интересного в нем? Думаю… ничего. Что ж, давайте посмотрим и прочитаем. Во-первых, давайте подумаем, где мы встречаем квадратные формы. Их много вокруг нас.

              1. Едем по главной дороге

              Подросток: вы, должно быть, уже знаете, что говорит дорожный знак на рисунке 1.

              Упражнение. В какие виды спорта играют на квадратном поле? Позвольте мне привести вам один пример: боксерский ринг. Ищите других.

              Теперь своего рода обязательный набор по математике. Квадрат со стороной а имеет периметр 4а и площадь 2 . Вот почему вторая степень числа (и, следовательно, его произведение на себя) называется квадратом. Диагональ квадрата

              В моей школе (то есть той, где я учился) важно было помнить, что это примерно 1,4142 - чуть меньше полутора.

              Математически говоря, квадрат — это прямоугольник . Какой-то особенный, но все же прямоугольник. Это также ромб и дельта. Напомню, что дельтовидная выглядит как воздушный змей (рис. 2). На бытовом языке немного иначе: даже математик скажет: «моя комната не квадратная, а прямоугольная». Однако давайте различать допустимые разговорные выражения и точный язык математики. Например, мне нравится точное определение футбольных репортеров: вратарь укоротил угол. Математически это бессмысленно: угол не имеет длины.Но вы знаете, что происходит.

              Сформулированное таким образом определение квадрата (как в подписи к рис. 2) отвечает аристотелевским требованиям к определению понятий: genus proximum et Differentia speciala . По-польски мы переводим это как «ближайшее родовое и видовое отличие». Его можно и нужно понимать так:

              • Тип: прямоугольники. Различие видов: равные стороны.
              • Тип: бриллианты. Видовое отличие: равные диагонали.
              • Род: дельтовидные: Различие видов: прямоугольные.

              Рисунок 2.

              Задача (немного математики и немного понимания того, что имел в виду Аристотель). Покажите, что в типе «многоугольники» квадрат отличается видовым различием: 16 площадь = длина окружности 2 . Во-первых: упростите то, о чем идет речь.

              Вот и следующая задача, между жизнью и математикой. По опыту мы знаем, что «квадратная» комната менее регулируема, чем прямоугольная (разумеется, я употребил здесь оба термина в обычном смысле) — лишь бы прямоугольник не был слишком «продолговатым».Присутствует ли какая-либо математика?

              Конечно есть (как и во всем). Давайте посмотрим на разные комнаты площадью 24 кв.

              Рисунок 3.

              Мы видим, что чем больше вытянут прямоугольник, тем больше его окружность. Мебель в комнате расставлена ​​скорее у стен. Поэтому чем больше окружность , тем больше мы можем установить... пока длина не станет слишком громоздкой. Напомню и принцип золотого сечения. Его можно сформулировать так: целое относится к большей части, а большее к меньшей.Как это выражается математически? Если мы обозначим все через 1, а большую часть через x, мы получим уравнение

              после ее решения получаем приближение x = 0,618. Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом сечении, выглядит так, как показано на рисунке 4. Добавим, что польский флаг должен быть прямоугольником 8:5, что близко к золотому сечению. Но гостиная такой формы оказалась слишком «продолговатой».

              Рисунок 4.

              Задача. Докажите, что из прямоугольников с одинаковым периметром квадрат имеет наибольшую площадь.

              Академики склонны доказывать такие факты расчетами. Действительно, если стороны прямоугольника равны х, у, периметр равен 2р, то у = р — х, а площадь ху = х (а — х). Осталось найти наибольшее значение кажущейся квадратной функции .

              Но нас интересует геометрических методов . Посмотрим на рисунок 5. Если прямоугольник AGHD не квадрат, то у него неравные стороны. Затем вы можете укоротить одну сторону и удлинить другую, чтобы получить прямоугольник с немного большей площадью.Поле CEFD больше, чем поле BGHC . Таким образом, только квадрат может иметь наибольшую площадь в классе всех прямоугольников того же периметра. Означает ли это, что квадрат имеет наибольшую площадь в классе всех прямоугольников с таким же периметром? Странный вопрос. Ну, мы только что показали это.

              5. Лучше квадрат, чем прямоугольник

              Еще нет. Давайте посмотрим на это рассуждение, чтобы «показать», что число 2021 самое большое. Для каждого числа меньше 2021 года можно найти большее число, поэтому 2021 год действительно является самым большим.Где мы делаем ошибку?

              Именно здесь мы предполагаем, что вообще существует наибольшее число. Однако предположение неверно, поэтому рассуждения на его основе ничего не стоят и ничего не дают. Нам еще предстоит выяснить, что среди всех прямоугольников одинаковой окружности есть один с наибольшей площадью. Обратите внимание, что такого прямоугольника с наименьшей площадью не существует! И это послужит доказательством того, что самое большое поле достижимо. Если прямоугольник с постоянным периметром очень длинный и узкий, поле близко к нулю.Точно так же, когда он очень высокий с маленьким основанием. Где-то между этими крайностями должен быть максимум.

              Я уже напомнил, что диагональ квадрата это иррациональное число

              В настоящее время иррациональность этого числа демонстрируется простыми алгебраическими рассуждениями. Студенты плохо понимают, о чем идет речь. Компьютеры… тоже нет. Иррациональные числа вообще не нужны для практических вычислений. Что я получаю от информации, что для покраски круглого футбольного поля нужен, скажем, килограмм краски.Краска в такой упаковке не продается. В магазине мне все равно приходится конвертировать в "нормальные" числа.

              И все же иррациональные числа сыграли чрезвычайно важную роль в истории европейской цивилизации. Пифагору мы обязаны европейской философией познания мира. Его школа-секта первой взглянула на мир глазами разума. Для пифагорейцев все было числами и соотношениями чисел — конечно, только такими числами, как 1, 2, 3, 4,..., 100,... Сегодня мы называем их натуральными числами.И вдруг они обнаружили, что диагональ квадрата — это не то число… то есть длина диагонали. Это красивое рассуждение.

              Точнее, пифагорейцы установили, что диагональ квадрата не соизмерима с его стороной . Не существует такого отрезка, который может уместиться целое число раз и по диагонали, и по бокам. Как доказать, что чего-то нет? Для этого используются косвенные доказательства. Мы используем их неосознанно и каждый день.

              Рисунок 6.

              Рис. 7.

              Предположим, что сторона квадрата ABCD соизмерима с диагональю. На рисунке 6 небольшие участки заполнены как по стороне, так и по диагонали. Длина такого отрезка s называется общей мерой стороны АВ и диагонали АС . Что мы видим? Тот же s является общей мерой меньшего квадрата BECO и его диагонали BC. Важно, что это один и тот же с . Если так, то это s будет общей мерой для еще меньшего квадрата и его диагонали.Если да, то это s будет общей мерой для еще меньшего квадрата и его диагонали. Я намеренно повторил предыдущую фразу. Квадраты будут уменьшаться и уменьшаться, а общая мера не изменится. Наконец, квадраты будут меньше, чем х … Этого не может быть. Что-то не так! Какая?

              Наше предположение, что эта общая мера вообще существовала, было неверным. Она не здесь! Какое рассуждение! Более 2500 лет назад! Может быть, поэтому математика сегодня так трудна, если она уже была такой четверть десятилетия назад (если считать за десятилетие десять тысяч лет)?

              Мне очень нравятся геометрические задачи типа "нарисуй одну линию и ты решишь".Сможете ли вы найти площадь меньшего красного квадрата на рисунке 7? Относительно площади всего квадрата, конечно? Нет? Затем взгляните на рисунок 8 (особенно тот, что справа). Все ясно? Для уверенности. Приходилось рисовать не одну линию, а на самом деле все это было на бумаге в клетку.

              Рисунок 8.

              Рисунок 9.

              Давайте подойдем к этой задаче иначе. Пусть длина стороны квадрата ABCD равна 1. Представьте, что точка K равномерно движется вверх во времени от 0 до 1, увлекая за собой весь квадрат KLMN . Квадрат сжимается и вращается, когда время t достигает 1, он поворачивается на полные 90 градусов. Но нас интересует не это, а его поле. Посмотрим на рисунок 9. Из теоремы Пифагора вычисляем то, что нам нужно, то есть сторону КЛ . Это гипотенуза в треугольнике KAL . Вот формула площади переменного квадрата. Давайте проверим. Что происходит на полпути между 0 и 1, то есть момент времени

              Квадрат изменился на меньший, расположенный так же, как дорожный знак на рисунке 1.Площадь такого квадрата составляет половину площади ABCD .

              И теперь, когда точка, блуждающая г. н.э. г. н.э., на мгновение останавливается на середине своего пути, есть место для многоэтажного отступления. Квадрат с вписанным числом устроен как ... у Сократа. Ну а в тексте «Менон» (потому что это сложно назвать книгой) Платон описывает, как Сократ учил мальчика геометрии. Он поручил мальчику нарисовать квадрат на песке, а затем нарисовать квадрат, в два раза больше . Мальчик нарисовал, конечно, как на рисунке 10.Печально констатировать, что через 2400 лет после Сократа некоторые учителя дублируют эту ошибку, объясняя своим ученикам, что то, что нарисовано в масштабе 1:2, в два раза меньше. Я рекомендую такую ​​аналогию: возьмем карту Польши в масштабе от одного до миллиона. Это лист размером с развернутую газету. В Польше 38 миллионов жителей, поэтому на такой карте поместилось бы 38 человек! Где ошибка рассуждения?

              С помощью разумно заданных вопросов Сократ заставил мальчика прийти к правильному ответу, разумеется, к тому, который показан на рисунке 11.Таким образом, он создал метод обучения, известный сегодня как сократовский, а для греческих философов это событие стало примером того, что все мы обладаем некоторым естественным знанием, и роль учителя состоит в том, чтобы помочь этой мысли выйти в свет. мира (мать Сократа была, если использовать сегодняшнюю терминологию, повивальной бабкой). Эта теория возрождалась в различных формах и формах на протяжении тысячелетий. Автор этих слов считает, что вся общая дидактика есть лишь вклад в Сократа. Но я не афиширую эту точку зрения.

              Рис. 10, 11, 12, 13.

              Отступление должно было быть многоэтажным. Азор, Бурек, Чарусь и Дропс спокойно стоят в углах квадрата ABCD (Рисунок 12). Внезапно Азор почувствовал «что-то» к Буреку, Бурусь к Чареку, Чарек к Дропсу, а Дропс к Азору. Все побежали навстречу друг другу… и что случилось? Собаки делали дуги и, всегда в вершинах поворачивающегося и уменьшающегося квадрата, встречались в самом центре. Физики назвали бы это особой точкой — то, что там произошло, не может быть описано уравнениями.В итоге Анджей, Бася, Целина и Дамиан забрали своих питомцев и даже ни с одним из них не пришлось обращаться к ветеринару. И кривая, по которой они бежали, в математической литературе называется именно так: собачья кривая. Его длина выражается в виде сложного интеграла. Хорошо, что собаки об этом не знают.

              Будет еще один уровень отступления. Мы видели, что площадь квадрата, вращающегося, как на рисунке 8, равна 2t 2 -2t + 1. Пусть время t проходит от нуля до единицы.Вспомним параболу из средней школы, построим функцию y = 2t 2 -2t + 1. Правильно: в нуле «малый» квадрат совпадает с большим, затем сжимается до «сократовского» и с той же скоростью растет. Как частичное солнечное затмение Луной. Такое затмение в астрономии называется кольцеобразным затмением.

              Поколения математиков и физиков задавались вопросом, что в уравнениях есть какая-то волшебная мудрость, что в них есть нечто большее, чем мы вкладываем в них. Посмотрим и мы. Что случилось, когда... еще ничего не произошло, когда нас не было на свете? В нашем примере: что было в отрицательное время, например, для

              Значение функции

              Это площадь «маленького» квадрата KLMN .Как так? Два с половиной? Ведь квадрат ABCD имеет площадь 1?

              Рисунок 14.

              Рисунок 14 объясняет это очевидное противоречие. Для отрицательного времени квадрат KLMN расположен, как показано на этом рисунке. Рассчитаем его площадь иначе, стандартно. Применим теорему Пифагора к треугольнику KQL . Секция KQ имеет длину шесть «решеток», но мы берем четыре за единицу, поэтому

              значит квадрат гипотенузы KL ровно

              Действительно, уравнение думает за нас.Просто нужно уметь с ним общаться. С компьютером немного похоже. Он рассчитает, что мы ему прикажем, но мы должны лично понять, что это барахло выкинуло на экран.

              И вот уже последний этаж отступления. В одной лекции я употребил этот термин: «железо». Присутствовавший в зале видный ученый-компьютерщик, профессор ведущего университета, проинструктировал меня: «Дорогой друг, в компьютере нет ни одного атома железа!». Я, конечно, поблагодарил за эту информацию, и профессор почувствовал благодарность.

              В заключение вот викторина; Я подарил его стипендиатам Национального детского фонда на математическом семинаре.

              1. Чему равна площадь круга? Это то же самое, что палкой повернуть Вислу вспять, или это имеет другой оттенок смысла?
              2. Сколько минут составляют четверть часа? Когда приблизилось шесть часов, ваш прапрадедушка мог бы сказать, что это «три часа из шести». Сколько было времени? Какое это имеет отношение к числу четыре?
              3. В каком виде спорта матч делится на четверти? В путеводителе по Татрам 19 века упоминается, что литр сливочного масла стоил 50 центов.А полвека назад, во время поездки на Бабью Гору, я набрал квадратик малины. Так сколько это было? Или, может быть, вы можете играть на пианино кварт? В том же путеводителе сказано, что фотосъемка в стиле кварто стоит 80 центов. Насколько большим было это фото?
              4. Когда луна находится в первой четверти, она ближе к новолунию или к полнолунию?
              5. Когда использовалась квадрига? А может быть вы знаете, что такое геометрическая фигура - квадрика? Скажу лишь, что сфера или поверхность сферы есть.Как вы думаете, что вы получите, если скажете на уроке математики, что если график линейной функции представляет собой прямую, то квадратичная функция представляет собой квадрат?
              6. Если вы станете врачом, вы узнаете о квадрицепсах и квадриплегиях. Я имею в виду что и кого?
              7. Генерал приехал инспектировать войска ООН, которые охраняли перемирие в неком городе. Казармы были пусты. Полковник пояснил: «В предыдущей четверти нас квартировали в другой четверти» — что это значит?
              8. Говорили ли вы когда-нибудь кому-нибудь: "Ах ты, осел квадратный"? Если так, то это немного грязно, даже если этот кто-то этого заслуживает.

              Михал Шурек

              См. также

              Делим пополам - треугольники и квадраты
              Цветные квадраты и солнечные затмения

              .90 000 квадратных неравенств - математика, диплом средней школы

              квадратных неравенства - математика, диплом средней школы

              МАТЕРИАЛ МАТЕРИАЛ> квадратичная функция

              КВАДРАТНЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ
              Математика зрелая - квадратичная функция: квадратичные неравенства


              Решаем квадратные примитивы в два этапа. Приведем полное решение на примере:


              Первый шаг - найти нули, как если бы мы решали квадратное уравнение.


              Второй шаг - нанесение раствора на ось и считывание пеленгов.
              1) Нарисуйте о и отметьте на нем нули (точки могут быть окрашены или не окрашены в зависимости от знака неравенства).

              2) Рисуем параболу очень приблизительного наброска. Суть только в направлении плеч параболы.



              3) Отмечаем соответствующую область.
              Этот шаг часто бывает очень сложным.
              Начнем с того, что парабола может иметь две формы (рукава направлены вниз или вверх). На рисунках ниже мы отметили положительные (синий) и отрицательные (этот цвет) области для обоих случаев:



              Когда у нас есть знак неравенства меньше (<) или меньше или равно (), мы обводим отрицательную область.
              Когда у нас есть знак неравенства больше (>) или больше или равно (), мы обводим положительную область.

              В рассматриваемом нами примере у нас есть знак: поэтому обведем положительную область:


              4) Читаем решение.Это интервал или интервалы, определяемые обведенной областью.


              Если бы знак неравенства был обращен в другую сторону (), то отрицательная область была бы окрашена, и решение было бы одним диапазоном:


              Другие неравенства
              Большинство неравенств, с которыми вы столкнетесь, представляют собой случаи с двумя нулями.
              Квадратные уравнения также могут иметь один нулевой разряд или вообще не иметь.
              Разберем все возможности, которые могут возникнуть для всех четырех признаков неравенства.


              С одним нулем
              - когда лучи параболы направлены вверх,
              Примеры:

              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел. Вся парабола расположена над осью, т.е. в положительной области, кроме нулевой точки. Знак неравенства (больше или равно) означает, что нулевое место также принадлежит решению.


              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел, где только одно число (цифры здесь: -2).Вся парабола находится в положительной области (над осью), за исключением одной точки для x = -2, которая находится на оси, а значит, имеет значение 0. Так как решение должно быть только со значениями больше ноль, цифра -2 ему не должна.

              Знак неравенства

              Решение - одно число (число здесь: -2). Из-за знака неравенства решением должны быть значения, меньшие или равные нулю (то есть части параболы, расположенные вдоль оси или на оси). Только одно число удовлетворяет этому условию (-2).


              Знак неравенства

              Решение - пустой бандит. Не существует числа, для которого существуют точки параболы под осью (точка на оси не считается, потому что только предполагается, что решение меньше нуля, и для этой точки значение равно нулю).


              - когда плечи параболы направлены к d.
              Примеры:

              Знак неравенства

              Решение - одно число (число здесь: -2).Из-за знака неравенства решением должны быть значения, большие или равные нулю (т.е. части параболы, расположенные над осью или на оси). Только одно число удовлетворяет этому условию (-2).


              Знак неравенства

              Решение - пустой бандит. Нет числа, для которого существуют точки параболы над осью (точка на оси не считается, потому что в решении должны быть только значения больше нуля, а для точки на оси значение равно нулю) .


              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел.Вся парабола находится на оси, т.е. в отрицательной области, кроме нулевой точки. Значения должны быть меньше или равны нулю, что делает точку, для которой значение равно нулю (-2), также принадлежит решению.


              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел, где только одно число (цифры здесь: -2). Вся парабола находится в отрицательной области (под осью), за исключением одной точки для x = -2, которая находится на оси, а значит, имеет значение 0.Поскольку решение должно быть меньше нуля, число -2 не является его частью.

              Без нулей
              - когда лучи параболы направлены вверх,
              Примеры:

              Знак неравенства

              Решение - пустой бандит. Вся парабола находится в положительной области.


              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел. Вся парабола находится в положительной области.


              - когда плечи параболы направлены к d.
              Примеры:

              Знак неравенства

              Решение представляет собой набор действительных чисел. Вся парабола находится в отрицательной области.


              Знак неравенства


              Решение - пустой бандит. Вся парабола находится в отрицательной области.


              Если у вас есть какие-либо вопросы, пожалуйста, посетите наш форум :)

              .

              Смотрите также